2016 Fiscal Year Research-status Report
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16K05206
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| Research Institution | Yamaguchi University |
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Principal Investigator |
柳原 宏 山口大学, 創成科学研究科, 教授 (30200538)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
堀田 一敬 山口大学, 創成科学研究科, 講師 (10725237)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 等角写像 / レブナーの微分方程式 / 普遍被覆写像 / Loewner理論 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
研究代表者：柳原宏
複素平面内の(単連結とは限らない)多重連結領域が,時間のパラメータに関し核収束の意味で連続に動くとき,対応する単位円板から領域への正則な普遍被覆写像は時間変数に関して局所一様収束の意味で連続になる.特に領域が時間に関して単調増加であるときは, 普遍被覆写像族から生成される単位円板から自身への正則写像族が半群をなすことを示すことができた.時間変数を標準的なものに取り替えることにより, この時間をパラメータとしてもつ半群はリプシッツ連続になる.従ってほとんどいたるところ時間に関して微分可能になり, Loewner-Kufarev の常微分方程式を満足することを示した. このような事実は単連結領域または定義域と像領域が等しい連結度を持つ場合についてのみ知られていたのみである.これに関連して領域列が核収束するとき連結度が下半連続になるという基本的な性質を導くことにも成功し,実際に連結度が下半連続であるが連続でないような例も構成できている.
他に凸正則単葉函数の two point distortion estimate について値の存在域の決定を行い, 連続度の sharp な評価への応用を研究した.
研究分担者：堀田一敬
統計物理学の視点からのレブナー方程式の応用について研究を進めた．特にN本のスリット領域の発展を記述したときに現れる Herglotz functionの性質について調査し，いくつかの結果を得ることができた．また，スリットの形状と2次元統計物理モデルとの関連性についても調査し，結果として convex in one directionと呼ばれる性質を持つslit領域とLoewner方程式との関連性の調査を今後の目標とする指針を立てるに至った．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
Loewner理論において究めて基本的であるカラテオドリの核収束定理を多重連結領域に一般化することはD. Hejhalにより得られてはいるが,我々の目的には定式化を変える必要がありさらに,さらなる一般化も必要である.ある程度の結果は既に得ていて, このような基礎的な理論の整備に関し,おおむね順調に推移している.
基礎理論の応用として複素平面内の(単連結とは限らない)多重連結領域が,時間のパラメータに関し核収束の意味で連続かつ単調増加に動くとき,対応する単位円板から領域への正則な普遍被覆写像が時間変数に関して局所一様収束の意味で連続になることが示せた. そして普遍被覆写像族から,単位円板から自身の中への正則写像のなす半群を構成することが出来ることも示せた. 標準的な時間パラメータの取り替えを行うことにより,この時間に関する半群がリプシッツ連続となることが導かれる.これよりほとんどいたるところ時間に関して微分可能になることを示すことが出来た. この時間に関する微分可能性が分かったので, Loewner-Kufarev の常微分方程式を経て偏微分方程式を満足することを示すことにも成功した.従って基礎理論の直接的な応用研究もおおむね順調に進展している.
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| Strategy for Future Research Activity |
研究の対象である単位円板から自身への正則写像の半群がLoewner-Kufarevの常微分方程式を満たすという,一応の結果が得られたので,これを踏まえ今度は対応する普遍被覆写像の族が満たすと考えられるLoewner-Kufarevの偏微分方程式の研究を行う. 特に普遍被覆写像の被覆変換群や個々の被覆変換が時間についてどのような変化をするか考察を進める.これを調べるために被覆変換群と同型である像領域の基本群について,対応する閉道の時間的な変化を考察するという基本的なアイデアが得られたので,これを用いてさらなる追求を進めたい.特に,連結度が飛躍する瞬間で,基本群や被覆変換群にどのような変化が起こるかを探るのは大変興味深い.1つの被覆変換が2つに分岐する瞬間になっているのではと予想を立てている.
学会誌「数学」に,本研究に関連が深いと思われる確率的Loewner方程式(SLE)に関する総説が掲載された.本研究は複素解析学的観点からLoewner方程式の基礎理論の整備とその応用を目指すものであるが,ある程度の結果がまとまりつつある.そこで今後はSLEの研究者とも交流を図るべく北海道大,東北大,大阪大,九州大などの確率論の盛んな大学を訪問したり,研究者を招いて研究集会や談話会などを開催したいと考えている.
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| Causes of Carryover |
平成28年度に予定していた海外出張が日程調整がつかず渡航できなかった.
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
平成28年度に予定していたが取りやめになった海外出張を29年度に行う予定である.
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