2016 Fiscal Year Research-status Report
拡散過程から定まる筒形集合の体積の大域的性質に関する研究
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16K05208
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| Research Institution | Kumamoto University |
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Principal Investigator |
濱名 裕治 熊本大学, 大学院先端科学研究部(理), 教授 (00243923)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | Wiener sausage / ドリフト付 Brown ン運動 / Ornstein-Uhlenbeck 過程 / 到達時刻 / Whitakker 関数 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
定数ドリフトをもつブラウン運動が定める筒形集合の体積の期待値について，ドリフトに関する単調性を調べる計画であったが，その元となるドリフト付ブラウン運動の球面への到達時刻の分布関数が交代級数で表示されているため正値性の判定が困難であり，満足いく結果は得られなかった．しかし，最近になって，ドリフトのないブラウン運動の到達時刻の分布関数に別表示が存在するがわかり，その手法をドリフト付ブラウン運動の場合に適用することで，解決を試みることにしたが，着手した時期が遅いのもあって，年度内には進展しなかった．
オルンスタイン・ウーレンベック過程の球面への到達時刻については，ラプラス変換が ホイッタカー関数の比で表示されていることもあって，逆変換を求めればよいことになるのだが，そこれ必要になるホイッタカー関数の零点の情報に関しては，まったくといってよいほど文献がない．そのこともあって，目立った進展はなかった．しかし，最近になって，ようやく１つの文献を発見し，現在，そこで用いられている手法を研究中である．
一方，ドリフトをもたないブラウン運動の球面への到達時刻の分布関数の情報も重要である．本課題研究を着手する前に，時刻が増大する際の漸近挙動が得られており，主要項が具体的に与えられている．本課題研究中に，第２項目のオーダーが与えれれていることを発見し，より詳しい情報として，第２項目の係数を決定することに成功した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
4: Progress in research has been delayed.
Reason
ドリフト付ブラウン運動の球面への到達時刻の分布関数は交代級数で表示されているが具体的な関数で与えられているため正値性の判定が比較的容易にできるものと思われたが，実際には，各項の評価を与えるときに正値性の判定に耐えうるまでの精密なものを得ることができなかった．
オルンスタイン・ウーレンベック過程の球面への到達時刻については，ホイッタカー関数の零点に関する情報が著しく乏しく，文献を検索するのに膨大な時間を要することとなった．
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| Strategy for Future Research Activity |
ブラウン運動の球面への到達時刻の分布関数については，別表示の存在がわかり，そこで用いられている手法を解析して，ドリフト付ブラウン運動の場合に適用することを試みる．
オルンスタイン・ウーレンベック過程の到達時刻についても，最近になって，ようやく文献を見つけることができた．その文献では，出発点が球面の内側の場合が述べられている．本研究で必要な出発点が球面の外側の場合について，そこで用いられている手法が適用可能かどうか検討を加える．
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