2017 Fiscal Year Research-status Report
拡散過程から定まる筒形集合の体積の大域的性質に関する研究
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16K05208
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| Research Institution | Kumamoto University |
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Principal Investigator |
濱名 裕治 熊本大学, 大学院先端科学研究部(理), 教授 (00243923)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | Ornstein-Uhlenbeck 過程 / 合流型超幾何関数 / Whittaker 関数 / 到達時刻 / Laplace 逆変換 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
オルンスタイン・ウーレンベック過程の球面への到達時刻については，球面の内部から出発した場合には一般論が出来上がっているが，球面の外部から出発した場合には，その一般論は適用できないので，ラプラス変換を逆変換することで分布関数を求めることが前年度の計画であった．オルンスタイン・ウーレンベック過程の半径方向の運動を考えればよいのであるが，より一般的な設定であるラディアル・オルンスタイン・ウーレンベック過程にまで対象を広げることで，到達時刻の分布関数を求めるための突破口をみつけ，前年度中には解決できず研究が遅れていたが，今年度になって，ようやく解決のための突破口をみつけ，到達時刻の分布関数および密度関数を第２種合流型超幾何関数とその第１パラメータに関する零点を用いて具体的に表示することに成功した．さらに，末尾確率が指数関数的な減衰をすることもわかり，これら得られた結果を論文にまとめ，現在投稿中である．
一方で，オルンスタイン・ウーレンベック過程に関する Wiener sausage の体積については，原点から出発するオルンスタイン・ウーレンベック過程が中心が原点でない球面への到達時刻の分布関数の情報が必要になる．ブラウン運動の場合，平行移動不変性が大きく作用して Wiener sausage の体積の期待値を得ることができるが，オルンスタイン・ウーレンベック過程は平行移動不変ではないために，同じ手法が使えないことがわかっていた．今年度に得られた結果をもとに解決を試みたが，着手した時期が遅く，年度内には進展しなかった．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
オルンスタイン・ウーレンベック過程に関する Wiener sausage の体積については，原点から出発するオルンスタイン・ウーレンベック過程が中心が原点でない球面への到達時刻の分布関数の情報が必要になるが，その前段階として，オルンスタイン・ウーレンベック過程の半径方向の運動について考えたが，必要な情報が極端に乏しく，検索するのに多大な時間を要した．そのため，期待される結果は得られたものの，それに至るまでに想定よりも多くの時間を要した．オルンスタイン・ウーレンベック過程が中心が原点でない球面への到達時刻に関しては，さらに情報が乏しく，文献検索に膨大な時間を要することになった．
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| Strategy for Future Research Activity |
オルンスタイン・ウーレンベック過程が中心が原点でない球面への到達時刻の分布関数については，関連する文献を１つみつけることができた．そこで用いられている手法を分析して到達時刻の分布関数の表示に適用することを試みる．
ドリフト付ブラウン運動の球面への到達時刻の分布関数については，今年度は手付かずになっていたが，ドリフトがない場合の別表示を行っている論文の読解がほぼ終了した．次年度に，ドリフト付のものに適用することを試みる．
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