2016 Fiscal Year Research-status Report
くりこみ群によるフラクタル上の非マルコフ過程の解析
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16K05210
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| Research Institution | Tokyo Metropolitan University |
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Principal Investigator |
服部 久美子 首都大学東京, 理工学研究科, 教授 (80231520)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | ループ・イレーズド・ランダムウォーク / 自己回避ウォーク / フラクタル / 連続極限 / 平均変位の指数 / 重複対数の法則 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
フラクタル空間上で、単純ランダムウォークからループを消して得られるループ・イレーズド・ランダムウォークを中心に、非マルコフ過程の研究を行っている。
前年度までに、（有限な）シェルピンスキー・ガスケット格子上で、自己回避ウォークとループ・イレーズド・ランダムウォークを一つのパラメータで連続につなぐ統一モデルを構成し、その連続極限の存在を証明した。このモデルは、自己回避ウォークと単純ランダムウォークをパラメータで連続につなぐ自己反発ウォークに対して、研究代表者が提唱した「ループを大きい順に消す方法」を適用して得られる。得られたランダムウォークの連続極限の確率過程は、パラメータが０のときに標準自己回避ウォークの連続極限に対応し、１のときにループ・イレーズド・ランダムウォークの連続極限になる。このウォークは非マルコフ的であるが、くりこみ群の方法によって厳密な解析が可能である。今年度は、構成した連続極限の確率過程の見本関数の性質、特に、短時間挙動の指数、重複対数の法則などを得た。さらに、パラメータの値を大きくしたときの極限の様子を数値計算で調べた。
同じモデルの別の方向性として、格子を細かくするのではなく、辺の長さは１のままで無限に広がるシェルピンスキー・ガスケット格子を考えて、その上の無限の長さのループ・イレーズド・ランダムウオークを構成し、その漸近的性質を調べた。シェルピンスキー・ガスケット上の単純ランダムウォークは再帰的なので、ループを消して無限長のウォークを構成するには、コルモゴロフの拡張定理の整合条件を満たすように接続する工夫が必要であるが、くりこみ群の方法により実現した。出発点からの距離が平均的に歩数の何乗で増えるかを示す変位の指数は、短時間挙動の指数と一致することが予想されていたが、それを厳密に証明した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
自己回避ウォークとループ・イレーズド・ランダムウォークを連続的につなぐ統一モデルの連続極限の性質として、研究計画に挙げていた、短時間挙動の指数、重複対数の法則の成立を証明した。さらに数値計算によってパラメータの値を大きくしたときのランダムウォークの振舞いが得られた。これらの結果は、連携研究者の大塚隆史等と共に論文にまとめて投稿し、Discrete and Continuous Dynamical Systems誌に掲載された。
ループ・イレーズド・ランダムウォークの短時間挙動の指数と、変位の指数が等しいことを証明し、平均変位の振舞いに関しても、標準的自己回避ウォークよりも詳しい性質が得られた。この部分は論文にまとめて投稿中である。
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| Strategy for Future Research Activity |
3次元のシェルピンスキーガスケット上ではループ・イレーズド・ランダムウォークはこれまで研究されてこなかった。「大きい順にループを消す方法」によって、ループ・イレーズド・ランダムウォークに似た解析可能なモデルの構成に取り組んでいる。
統一モデルの連続極限の存在とその性質を調べている間に、くりこみ群の方法を用いて、１７個のパラメータを含むさらに一般的な自己回避ウォークの族を構成し、連続極限の存在と性質を示すことができることに気付いた。この問題には連携研究者の大学院生、大塚隆史が主体となって取り組んでいる。連続極限の存在は証明できている。連続極限の確率過程は、パラメータの変化とともに、自己回避性、ハウスドルフ次元などが変化して様々な連続確率過程が現れる興味深いモデルである。連続極限のパラメータによる分類を目指す。
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| Causes of Carryover |
ノートパソコンを買う予定だったが、申請後に、研究と深い関連のある分野の研究集会があることを知り、代表者が講義のために行けないので、連携研究者の大学院生大塚隆史を代わりに派遣した。差額が繰り越し分である。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
次年度の交付金額と合わせてノートパソコンの購入を計画している。
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Research Products
(4 results)
