2017 Fiscal Year Research-status Report
くりこみ群によるフラクタル上の非マルコフ過程の解析
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16K05210
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| Research Institution | Tokyo Metropolitan University |
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Principal Investigator |
服部 久美子 首都大学東京, 理工学研究科, 教授 (80231520)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | ループ・イレーズド・ランダムウォーク / 自己回避ウォーク / フラクタル / 連続極限 / 変位の指数 / 重複対数の法則 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
フラクタル空間上での非マルコフ過程の研究をおこなっている。
無限に広がるプレ・シェルピンスキー・ガスケットとよばれるグラフ上で、無限の長さのループ・イレーズド・ランダムウォークを構成した。ループ・イレーズド・ランダムウォークは、単純ランダムウォークからできた順にループを消して得られるウォークとして定義される。プレ・シェルピンスキー・ガスケット上の単純ランダムウォークは再帰性を持つのでまず有限なガスケット上でループ・イレーズド・ランダム・ウォークを構成する。次に、それらを整合条件を満たすようにつないで、コルモゴロフの拡張定理によって無限の長さのループ・イレーズド・ランダムウォークを構成する。
このようなループ・イレーズド・ランダム・ウォークの構成と、歩数が大きいときの漸近的性質、すなわち、出発点とn歩目の位置の間の直線距離の期待値が歩数nが十分大きいときにnのべき乗の形の振舞いをみせること、および、nの指数（変位の指数）の値は前年度までに得られていた。
29年度はさらに、growth exponentとよばれる、ある距離に達するまでにどのくらいの歩数が平均的に必要かを表す指数を求めた。この値は変位の指数の逆数になることが予想されていたが、その証明を与えた。また、平均的な振舞いとは別に、pathごとの振舞いを表すものとして、重複対数の法則を証明した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
無限プレ・シェルピンスキー・ガスケット上のループ・イレーズド・ランダムウォークに関する研究は論文にまとめて投稿中であるが、査読に時間がかかっている。
プレ・シェルピンスキー・ガスケットは平面内のグラフであるがその3次元版も考えられる。3次元のプレ・シェルピンスキー・ガスケット上のループ・イレーズド・ランダムウォークはこれまで研究されてこなかった。大学院生との共同研究で3次元ガスケット上のループ・イレーズド・ランダムウォークを構成しようとしているが、まだ途中である。
平面内でも3－ガスケットという、シェルピンスキー・ガスケットとは異なるフラクタルグラフがあるが、無限に広がる3－ガスケット上のループ・イレーズド・ランダムウォークの構成に大学院生と取り組んでいる。無限の長さをもつループ・イレーズド・ランダムウォークの構成および変位の指数は得られているが、この研究もまだ途中である。
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| Strategy for Future Research Activity |
フラクタル空間でのループ・イレーズド・ランダムウォークの研究は、研究代表者が考案したELLF法、すなわち、大きい順からループを消していく方法を用いていた。この方法で構成したループ・イレーズド・ランダムウォークはは普通のシェルピンスキー・ガスケット上では標準的ループ・イレーズド・ランダムウォーク（ループをできた順に消す）と同じものであることを証明した。
無限に広がる3－ガスケット上では、指導する大学院生が、無限の長さをもつループ・イレーズド・ランダムウォークがELLF法で構成できること、および変位の指数を得た。また、研究代表者が標準的な構成法と一致することを証明した。これらの結果を得るには、ループ・イレーズド・ランダムウォークが通り抜ける3角形の個数に関する母関数の再帰式が鍵となっている。再帰式が２つの変数で十分なこと、および母関数の具体的な係数は計算機を用いた直接計算によって求めている。またELLF法と標準的なループ・イレーズド・ランダムウォークが等しくなることもフラクタル空間ごとに個別に示してきた。しかし、再帰式が２つの変数で十分なことの証明は、一般のm-ガスケットに共通にできるはずで、この証明はELLFと標準的方法の同値性と関係すると予想している。個々のグラフによらないｍ－ガスケット一般に対する証明を与えようとしている。
3次元ガスケット上では、ELLF法と近い方法でループ・イレーズド・ランダムウォークに近いものが構成できているが、このモデルとELLF法、標準的方法との関係を明らかにしようとしている。
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| Causes of Carryover |
次年度に海外出張を2回予定しているのでそのために当該年度は節約して残した。
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