2018 Fiscal Year Research-status Report
くりこみ群によるフラクタル上の非マルコフ過程の解析
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16K05210
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| Research Institution | Tokyo Metropolitan University |
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Principal Investigator |
服部 久美子 首都大学東京, 理学研究科, 教授 (80231520)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | ループ・イレーズドランダムウォーク / 自己回避ウォーク / フラクタル / 変位の指数 / growth exponent / 重複対数の法則 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
フラクタル空間上での非マルコフ過程の研究をおこなっている。
無限に広がるプレ・シェルピンスキー・ガスケットとよばれるグラフ上で、無限の長さのループ・イレーズド・ランダムウォークが構成できることを証明した。ループ・イレーズド・ランダムウォークは、単純ランダムウォークからできた順にループを消して得られるウォークとして定義される。プレ・シェルピンスキー・ガスケット上の単純ランダムウォークは再帰性を持つのでまず有限なガスケット上でループ・イレーズド・ランダム・ウォークを構成し、コルモゴロフの拡張定理を用いてそれを無限に拡張する。このようなループ・イレーズド・ランダム・ウォークの構成と、歩数nが大きくなる時の漸近的性質，すなわち，出発点とn歩目の位置の間の直線距離の期待値が、歩数nが十分大きいときにnのべきの形の振舞いをみせることと、nの指数（変位の指数）の値、growth exponentとよばれる、ある距離に達するまでにどのくらいの歩数が平均的に必要かを表す指数を求めた。
また、平均的な振舞いとは別に、pathごとの振舞いを見るものとして、重複対数の法則を証明した。これを論文にまとめたものが Stochastic processes and their applications に受理され2019年のうちに出版予定である。
また、Falconer著『Fractals』Oxford University Pressの翻訳を行っている。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
無限プレ・シェルピンスキー・ガスケット上のループ・イレーズド・ランダムウォークの論文を投稿してから、掲載決定するまで長くかかった。証明を改善すべき箇所をいくつか指定され、また注釈として書いた事実を定理の形にまとめて証明をつけるようにすすめられるなど、査読者との間に3回のやり取りがあり、直すのに多くの時間がかかった。
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| Strategy for Future Research Activity |
フラクタル空間でのループ・イレーズド・ランダムウォークの研究は、研究代表者が考案したELLF法、すなわち、大きい順からループを消していく方法を用いていた。この方法で構成したループ・イレーズド・ランダムウォークはは普通のシェルピンスキー・ガスケット（２－ガスケット）上では標準的ループ・イレーズド・ランダムウォーク（ループをできた順に消す）と同じものであることを証明した。無限に広がる3－ガスケット（正三角形を6つの上向きの小さい正三角形で置き換える操作を繰り返して得られる）上では、指導する大学院生が、無限の長さをもつループ・イレーズド・ランダムウォークがELLF法で構成できること、および変位の指数を得た。また、研究代表者が標準的な構成法と一致することを証明した。これらの証明は実際に両方計算して比較したものだが、一般的に成り立つ仕組みがあると予想している。平面内の一般のn-ガスケットに対して成り立つと予想して証明しようとしているが、その証明を完成させたい。
また、空間の構成の時に2－ガスケットと3－ガスケットがランダムに現れるような、ランダム環境内のループイレーズドランダムウォークを構成したい。
『Fractals』の翻訳を完成させたい。
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| Causes of Carryover |
次年度パソコンを買う必要があるため今年度節約した。
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Research Products
(2 results)
