2017 Fiscal Year Research-status Report
非可換調和解析における多次元特異積分論の構築ー実解析と表現論を融合した新たな手法
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16K05211
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| Research Institution | Keio University |
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Principal Investigator |
河添 健 慶應義塾大学, 総合政策学部(藤沢), 教授 (90152959)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 非可換調和解析 / 特異積分論 / Kunze-Stein 現象 / 端点評価 / アーベル変換 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の目的は、非可換調和解析に対して特異積分論を展開することである。ユークリッド空間での理論の類型を、ダブリング条件が満たされない空間で再構築することと、そのような空間における特異な現象を解析することを試みた。ダブリング条件が満たされない空間において理論を再構築する手法としてはアーベル変換とその逆変換を用いることが有効であることが分かった。実際、球変換はアーベル変換とフーリエ変換の合成に分解されるので、ユークリッド空間の理論を、逆フーリエ変換と逆アーベル変換を用いて、引き戻すことが可能である。このことは以前から有効であると思われているが、今回、逆アーベル変換に現れる微分作用素（実際は分数微分作用素）を詳細に調べることにより、より詳細に類型を構築することが可能となった。その応用例として、Kunze-Stein 現象の端点評価を取り上げた。Kunze-Stein 現象は非コンパクトな半単純リー群で成立する結合積の特異な有界性であるが、そのp=2でのローレンツ空間を用いた端点評価は実ランク１の半単純リー群やヤコビhyper群で知られていた。高ランクへの拡張が一つの課題となっていたが、上述の手法により、その高ランクへの拡張はほぼ不可能であることが分かった。とくに複素半単純リー群において具体的に不可能な理由を示すことができ、また結合作用素の端点評価を得るためには、フーリエマルティプライヤーを用いた修正が有効であることが証明できた。2017年度の主たる実績は、複素半単純リー群やSU(n,m)などの高ランクは半単純リー群において、Kunze-Stain 現象の修正端点評価を得たことである。このことは今後の研究に大きな道筋を与えるもので、次年度もこの延長として、特異積分論の構築を試みたい。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
ダブリング条件が満たされない空間での特異積分論の構築は、その手法からして有効な方法が模索されていた。今回、逆アーベル変換を用いる方法により、Kunze-Stein 現象の修正端点評価を複素半単純リー群を始めとする高ランクな半単純リー群上で構築できたことは大いなる成果である。実際、多くの研究者が修正なしに端点評価が得られるものと期待して研究が進められていた中で、修正は必須であることが、具体例を用いて明確にできたことはとても意義があることである。さらにこの手法を用いることにより、次のステップであるCalderon-Zygmund 作用素の拡張への道筋が明確となった。以上の理由により、研究はおおむね順調に進展している。
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| Strategy for Future Research Activity |
非可換な半単純リー群上のKunze-Stein 現象の修正端点評価を得た手法を用いて、特異積分のLp 有界性の理論を構築する。すなわちLp 有界となる Calderon-Zygumnd 積分核を特定することである。当然の予想として、群上の関数のアーベル変換がユークリッド空間におけるCalderon-Zygumnd 核となれば、その関数による群上の結合積はLp有界になるか？が考えられる。おおむね正しいと思われるが、その証明には、逆アーベル変換に現れる分数微分作用の研究、Lpノルムと逆アーベル変換の関係、1<p<2における重み付き不等式の補間などの理論を詰める必要がある。特にこれらの過程においてアーベル変換が球関数の積分核を用いて定義されることに注意すると、上述の話は、最終的にこの積分核の性質に帰着されるものと思われる。とくに実ランク1の半単純リー群あるいはヤコビhyper群においてはその積分核の具体形が知られているので、具体例をもって理論を構築できるものと期待される。この視点からすると、最も簡単な例としては、SU(1,1)上における特異積分、すなわちCalderon-Zygumnd 核の決定が期待できる。従来の非可換調和解析の常套手段である。しかし、SU(1,1)の球関数の積分核は非有界であり、実際の計算や評価は複雑化する。この意味においては SU(n,1), n≧2, での具体例を構築することから始めたい。また高ランクな場合の例としては、アーベル変換がランク1の場合を多重化して記述できる複素半単純リー群の場合で構築したい。いずれにせよ、今年度に得られた手法と方針を推進する形で、大いなる成果が期待できる。
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| Causes of Carryover |
2017年2月に研究協力者K. Koufany教授を招聘し研究打ち合わせを行った。その際、慶応大学の研修宿泊施設を利用し、謝金を押さえた結果、残金が生じた。次年度の旅費に合算する。
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