2018 Fiscal Year Research-status Report
非可換調和解析における多次元特異積分論の構築ー実解析と表現論を融合した新たな手法
| Project/Area Number |
16K05211
|
|---|
| Research Institution | Keio University |
|---|
Principal Investigator |
河添 健 慶應義塾大学, 総合政策学部(藤沢), 教授 (90152959)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2020-03-31
|
| Keywords | 特異積分 / ヤコビハイパー群 / ヤコビ解析 / Calderon-Zygmund作用素 / Kunze-Stein現象 / 端点評価 |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
本年度は二つの課題を中心に研究を進めた。一つはKunze-Stein 現象の端点評価が高ランクの半単純リー群上で成立するかの問題である。複素半単純リー群の場合と同様に、SU(n,m)の場合を調べた。結論としてはランク１の場合の形で、端点評価を得ることは厳しく、適当なフーリエマルチプライヤMを構成し、Mf*gの形で端点評価を得ることができた。高ランクな場合には既知の結果はなく、このような修正した形であっても評価式を得ることができたことは大きな成果である。またこの証明の過程を精査すると、修正の無い形での端点評価を得ることは不可能に近いことが分かる。今後は修正の無い場合の端点評価の反例の構成を考えてみたい。
もう一つの課題は、ヤコビハイパー群上における特異積分として、結合積型のCalderon -Zygmund作用素の導入とその有界性について考えてみた。アーベル変換Aがヤコビ解析における結合積をユークリッド空間における通常の結合積に変換することに注目し、アーベル変換がユークリッド空間におけるCalderon-Zygmund作用素となる形で、ヤコビハイパー群上のCalderon-Zygmund作用素を導入した。gをヤコビハイパー群上の関数としたとき、Exp(ρx)A(g)が通常のユークリッド空間上のCalderon-Zygmund作用素となると、f*gのL^p有界性(1<p≦2)が得られることが分かった。さらにExp(ρx)A(g)が通常のユークリッド空間上のCalderon-Zygmund作用素となる条件を調べた。結果として、g がある種のHormander型の条件を満たせは、Exp(ρx)A(g)が通常のユークリッド空間上のCalderon-Zygmund作用素となることが分かった。この研究の過程で、SU(1,1)の場合が例外となっているのは新たな現象であり、大いに注目に値する。
|
| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本研究は半単純リー群やヤコビハイパー群上に特異積分論を構築すること、またユークリッド空間上では成立しない特異な現象を探ることである。本年度の成果で述べたように、SU(n,m)においてKunze-Stein現象の修正型端点評価を得たこと、およびヤコビハイパー群上に結合積型のCalderon-Zygmund作用素を導入し、そのL^p評価を得たことは、当初の目的を達成している。しかしながら、端点評価においてはマルチプライヤーによる修正を施さなくてはならなかったこと、またヤコビハイパー群上のCalderon-Zygmund作用素に関してはSU(1,1)の場合（ヤコビ解析のα=β=0の場合）を例外とせざるを得なかった点で、おおむねの達成とした。
証明できなかった部分はいずれも理論の根幹に関わる。修正端点評価に関しては、修正はむしろ必須と思われ、今後は修正無しでは評価が得られないことを反例で示したい。その意味で高ランクの場合の端点評価の新しい形の発見とも言える。作用素の有界性に関して、SU(1,1)が例外となることは驚きである。通常、非可換調和解析はSU(1,1)での具体的な計算から一般化されるが、その流れに反する結果である。その原因はC関数の零点の位数と増大度に起因し、SU(1,1)の場合はフーリエマルチプライヤーとしてのC関数を、反転公式に現れる分数微分作用素で記述できないことによる。この事実は、あらたな興味深い課題である。
|
| Strategy for Future Research Activity |
Kunze-Stein現象の修正型端点評価に関しては、修正は必須なのかを見極める必要がある。修正が無い場合、端点評価が成り立たないことが示されれば、修正が必須となる。修正が無い場合の端点評価の反例の構築が一つの課題である。
ヤコビハイパー群上における結合積型のCalderon -Zygmund作用素の導入とその有界性についてはSU(1,1)の場合を精査する必要がある。ポイントとなる点は、ヤコビハイパー群上の関数fのL^pノルムと、そのアーベル変換A(g)の重み付きL^pノルムの関係である。p=1のときは容易に関係を得ることができ、またp=2のときもParsevalの等式により両社の関係を得ることができる。この二つの評価式を補間できればL^pノルムの関係を式を得ることができる。しかしSU(1,1)の場合、C関数C(λ）がλ=0で1位の零点をもち、λ^1/2の程度で増大する。このことからC(λ）が逆変換公式に現れる分数微分作用素に対応せず、p=1のときとの補間ができなくなる。SU(1,1)の場合、fのL^pノルムと、そのアーベル変換A(g)の重み付きL^pノルムの関係を補間を用いずに求める必要がある。あるいは結合作用素T_g(f)=f*gにおいて、T_gが弱L^1有界であることを示しても良い。この場合、Exp(ρx)A(g)が弱L^1有界であることを示すことになるが、Exp(ρx)A(g)が通常のユークリッド空間上のCalderon -Zygmund作用素となるだけでは不十分で、gに新たな条件を付加することが必要となる。SU(1,1)を例外とする定理は極めて異例なので、この付加条件は外したいが、いまのところ目途が立っていない。あるいはSU(1,1)を例外とする新たな現象なのかもしらない。この部分を見極めることも大きな課題である。
|
| Causes of Carryover |
差額が生じた事由は、消耗品を買い控えたこと、また3月の北京大学への出張に際し、日程が短縮し、かつ先方から宿泊の補助を得たことによる。
この差額は、翌年度の消耗品費および旅費として使う予定である。
|
