2019 Fiscal Year Research-status Report
非可換調和解析における多次元特異積分論の構築ー実解析と表現論を融合した新たな手法
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16K05211
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| Research Institution | Keio University |
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Principal Investigator |
河添 健 慶應義塾大学, 総合政策学部(藤沢), 教授 (90152959)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 特異積分 / ヤコビ解析 / アーベル変換 / 分数作用素 / Kunze-Stein現象 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
今年度はヤコビ解析における結合積型の特異積分論、すなわちCalderon-Zygmund型の特異積分論の類型の構成と、Kunze-Stein現象の端点評価を重点的に解析した。いずれの場合もアーベル変換とその逆変換において、通常のヤコビ解析における分数微分作用素をユークリッド空間における分数微分作用素で置き換える手法を用いた。
Calderon-Zygmund型の特異積分論の類型に関しては、α≧1/2のとは前年度までに完成していたが、α<1/2のときが本年度の研究対象である。この際、本質となるのは分数微分作用素のLp有界積であり、とくにp=2のときに、マルティプライヤーとしてみたときの零点の位数が問題となった。結論から言うと、ヤコビ解析におけるCalderon-Zygmund型の特異積分のLp有界性においては、α<1/2のとき、1≦p≦2に制約条件が必要となった。ただし、pが1に十分近いところでは有界性が成り立つ。このようなヤコビ解析における特異性は、α<1/2のとき、アーベル変換の積分核がすでに特異性を持つこと、あるいはC関数の増大度が1位より小さいことに起因する。ユークリッド空間のときに対応する完全な形での類型はできなかったが、逆にヤコビ解析の特異性が浮き彫りになった。
二つ目の課題のKunza-Stein現象の端点評価については、従来ランク1な半単純リー群あるいはヤコビ解析において端点評価が成立することが知られていた。しかし、ランクが1より大きいときの成立の可否にちては未解決であった。また高ランクな複素半単純リー群に関しては、ある種の修正を行えば端点評価が成立していた。今回、SU(n,m)（ランクn）において精密な計算を行い、ある種の修正のもとで端点評価が得られることを示した。このような修正は必須と思われ、高ランクの場合、通常の端点評価は成立しないものと思われる。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本研究では、逆アーベル変換の拡張、Calderon-Zygmund理論の構築、Bourgainの不等式、群上の調和解析への応用などを研究課題として挙げた。このうち、Bourgainの不等式に関する研究は進まなかったが、他は順調に進展した。Calderon-Zygmund特異積分論に関して、ヤコビ解析における結合積型の特異積分のLp有界性に関して、逆アーベル変換を用いて詳細な結果を得ることができた。とくに従来から知られていたInonescuの証明方法と結果を改良できた点は大きい。逆アーベル変換の有効性が示せた。このことは他の特異積分のLp有界性を得る上でも大きな指針となることが期待される。もう一つの逆アーベル変換の応用として、Kunze-Stein現象に対して精密な議論を展開することができた。従来の方法では高ランクな場合へ拡張することは困難であったが、アーベル変換を用いることによりKunze-Stein現象の本質がより鮮明となった。結果として高ランクな場合に、修正型の端点評価を得ることができた。
本研究の課題を一言で言えば、ユークリッド空間にける諸理論を非可換調和解析に拡張することである。この場合、単純に同様の定義を与え、証明を繰り返して類型を構築することはあまり意味がない。ユークリッド空間のときとは違う手法が必要となったり、場合によっては類型が成立しないことこそが興味深い成果である。この意味において、本研究の成果はおおむね順調に得られていると評価できる。
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| Strategy for Future Research Activity |
ヤコビ解析等における結合積に関する特異積分の研究が主であった。その意味において、結合積を結合積に写すアーベル変換が有効であった。今後は一般の特異積分に関して、アーベル変換が有効となるかがポイントとなる。この場合、そもそも特異積分をどのように定義するかが問題となる。また本研究で明らかになったように、ヤコビ解析におけるα<1/2の場合、半単純リー群におけるSU(1,1)の場合が特異積分のLp有界性においては例外的な場合となった。従来の群上の調和解析の研究では、これらの場合がもっとも易しく、そこで得られた類型を拡張する流れであった。今後はこのような特異性を見極める必要がある。最後に研究が進んでいないBourgainの不等式の拡張については引き続きその類型の構築を目指す。しかしながら、Hardy-Littlewoodの最大関数のLp有界性、とくに弱L1有界性の証明がそもそも複雑だったので、類型をもとめるには大きな困難が予想される。
海外の研究者の招聘や海外の学会・セミナーでの研究発表や研究打ち合わせにより上述の研究を詰める予定であったが、招聘期間の変更およびCOVID-19による渡航禁止に本年度の研究機関を延長して、研究を推進することとした。
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| Causes of Carryover |
1) 海外研究者（フランス人）の招聘期間の変更。当初は2019年10月を予定していたが、本人の本務校の都合で2020年4月に変更した。その後、COVID-19で渡航禁止となり2020年秋に招聘を予定している。
2) 北京大学数学教室での2020年3月の研究打ち合わせを延期したため。やはりCOVID-19の影響で当初の予定を変更せざるを得なくなる。2020年7月もしくは9月を予定している。
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