2019 Fiscal Year Research-status Report
1次元及び高次元複素力学系における implosion の理論とその応用
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16K05213
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| Research Institution | Tokyo Polytechnic University |
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Principal Investigator |
中根 静男 東京工芸大学, 工学部, 名誉教授 (50172359)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | サドル不動点 / Lavaurs 写像 / fiber Julia 集合 / fiber Julia-Lavaurs 集合 / スーパーサドル / finger / stretching ray / critical portrait |
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| Outline of Annual Research Achievements |
１. Incoming サドル不動点がスーパーサドルの場合、そのサドルの fiber 上の別のサドルと outgoing サドル上の fiber julia 集合の間に relation がなければ、fiber Julia 集合が incoming サドルの安定集合の閉包に収束することを証明した。
さらに、上記の二つのサドル集合の間の relation と fiber filled Julia 集合の集積点集合の関係についていくつかの結果を得た。それらをまとめて論文を完成し投稿した。
本研究の動機がスーパーサドルの場合に fiber Julia 集合が不連続にふるまうという奇妙な現象の解明にあり、その回答が与えられた。
2．Vertical critical point が収束するような base variable z の集合は、finger-like な構造を持つ。数値実験によると incoming サドル不動点がスーパーサドルになる場合は、fingers が無限個現れる。京都大学の宍倉光広氏と議論することにより、一つの例に対しては、fingers が無限個あることを証明した。
3. 複素３次多項式族の stretching rays について、Milnor の canonical retraction の議論を用いることにより、parabolic locus の capture components に集積するような stretching rays の critical portraits の特徴づけを与えた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
１．写像が二つのサドル不動点で線形化可能な場合の fiber Julia 集合の fiber Julia-Lavaurs 集合への収束と fiber Julia-Lavaurs 集合のトポロジーに関する結果をまとめた、連携研究者の稲生啓行氏との共著論文が Indiana University Mathematics Journal に掲載された。本研究の基本的な部分が完成したことになる。
２．Incoming サドル不動点がスーパーサドルの場合に、fiber Julia 集合と fiber filled Julia 集合の挙動を、そのサドルと同じ fiber 上の別のサドルと outgoing サドル上の fiber Julia 集合との間の relation によって特徴づけ、論文を完成した。
３．Fingers が無限個存在するような例をみつけた。
４. Parabolic locus の capture components に集積するような stretching rays の critical portraits を特徴づけることができた。
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| Strategy for Future Research Activity |
１．スーパーサドルでない場合には、線形化座標を用いて fingers が有限個であることを証明する。
２．Outgoing サドル不動点での標準化の問題を引き続き検討する。
３．Critical orbit relation がないときは stretching rays が着地しないことは示したので、次はその集積点集合を特徴づける。Parabolic locus の adjacent components に集積するような stretching rays を特徴づける。そのために、写像 Q_0(z) = z^3+z を摂動したときの parabolic implosion 理論を解明する。これらをまとめて論文を完成する。
Stretching rays に関しては、Toulouse 大学の Pascale Roesch との共同研究なので、彼女と緊密に連絡を取りながら研究を進める。また、国内外の実力学系や複素力学系の研究者と議論するために、海外出張や国内出張を行う。
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| Causes of Carryover |
年度末に参加を予定していた研究集会が新型コロナウイルス性肺炎のために延期となったため。次年度に延期された研究集会に参加する予定である。
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