2016 Fiscal Year Research-status Report
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16K05215
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| Research Institution | Ritsumeikan University |
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Principal Investigator |
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
赤堀 次郎 立命館大学, 理工学部, 教授 (50309100)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 確率微分方程式 / なめらかでない係数 / モデル化 / シミュレーション方法シミュレーション方法 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究では、新しい無限次元解析に向けて確率Parametrix方法により滑らかでない係数の確率微分方程式(SDE)の解析道具として広く適応することが目的である。特に次の問題について取り組むことを目的とする。１.滑らかではない準楕円SDEの密度関数に関して詳しく性質を調べる。２.滑らかでない汎関数に対しての密度関数のparametrix展開。汎関数として確率過程の最大値や停止時間を主な例として扱う。3. SDEの係数が滑らかでないときの密度関数展開を行う。4. 準楕円SDEの高次近似方法によりSDEの近似と解析方法を構築する。5.応用を考えるといろんなDriving確率過程や汎関数に関して適応し、Parametrix方法が確率的な議論により応用範囲を拡大する。
現代では数値モデルは確率を取り組むことが不可欠である。さらに時間とともに変化するモデルでは確率過程が必要である。よくある設定では変動を表現する基本確率過程を選択したうえで係数やパラメーターによりモデルの変化を表してモデル化を行うことが通用である。場合によってモデルの急な変化が表す係数がなめらかではないため、その解析を行うことが大切である。その結果により計算機でのシミュレーションできるようにシミュレーション方法を提案する必要がある。今年が確率微分方程式の拡散係数が一点で不連続の場合での密度関数の性質に関して検討を行い、解析方法を提案し、その密度関数のなめらかさについて詳しく調べる方法を構築した。また、シミュレーション方法を提案し、これからその計算方法の評価を行うことが目標である。
この研究を行った結果、なめらかでない拡散係数と局所時間との関係が理解し、局所時間に関しての解析を深めるために反射付の確率微分方程式の無限次元解析とそのシミュレーション方法に関して検討している。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
大まか予定通りで研究を行っている。汎関数の解析について結果をまとめているがシミュレーション方法の提案について遅れている。これを29年度に実施する。
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| Strategy for Future Research Activity |
これからの研究は２８年度の結果を踏まえて残した課題を取り組むことが最初に行い、拡散過程の汎関数に関してparametrix を使いその平均の計算方法を考える。そのために解析方法から始めるべき。２８年度に行った局所時間に対しての解析を基礎し、最大や停止時間に関しての解析方法を広げることによってシミュレーション方法の提案にもつながることもあるを想定している。別のけさん方法として漸近展開であると思われる。このためにモデルのパラメーターの中で計算しやすい設定を選んでからその値をもとにし、漸近展開を行うことが目的とする。特になめらかでない係数の確率微分方程式に対して展開を目指す。特に２８年度に解析した方程式に対して展開を行い、局所時間などに関しても検討する。この展開が統計学に応用の可能性についても検討する。楕円ではない拡散係数に関して解析方法を展開する。この問題ではMalliavin解析方法も存在するのでその解析方法を超える設定について検討すべき。そのあとにジャンプ型確率過程をはじめ、Fractional Brownian motionを基礎した確率微分方程式に関して解析方法とシミュレーション方法の提案について考える。その際にジャンプ型過程とFractional Brownian Motion問題が異なり、対応すべき課題が違っている。例えばジャンプ型確率過程の場合では確率過程のモメント問題が発生する。特に安定過程の場合では分散が存在しないモデルが通用であるためシミュレーション方法の提案が難しい課題である。Fractional Brownian motionの場合ですとマルコフ性が成立しないことが問題である。特にparametrix方法が基本的にマルコフの設定しか利用ができないため、この方法の拡張について検討すべき。このような問題は研究プロジェクトの残った時間で取り組んでいく。
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| Causes of Carryover |
効率的に執行した結果、残高が生じた。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
今後の計画書に基づき使用する。
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