非局所相互作用をもつ非線形移流拡散方程式系に対する爆発解の研究

2017 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 16K05219
• Research Institution: Muroran Institute of Technology
• Principal Investigator: 黒木場 正城 室蘭工業大学, 工学研究科, 教授 (60291837)
• Project Period (FY): 2016-04-01 – 2019-03-31
• Keywords: 空間高次元 / 多成分 / 移流拡散方程式系 / 初期値問題 / エントロピー / ２次モーメント / 有限時間爆発解 / 時間大域解

Outline of Annual Research Achievements

未知関数の数がm個の空間高次元多成分移流方程式系について，m個の移流係数とmの粒子場係数の符号の組み合わせによる解の構造の分類を研究した．これらの係数は＋１あるいはー１とする．拡散方程式系全体の自由エネルギーは，各成分の粒子系の自由エネルギーに，対応する移流係数と子場係数が乗じられた量の総和で表すことができる．それゆえ，それぞれの解が時間大域的に存在するか否かを考察するとき，移流係数と粒子場係数の符号が重要な役割をもつ．粒子は移流係数と粒子場係数の積がプラスになるとき互いに引きつけ合い，移流係数と粒子場係数の積がマイナスになるとき反発 し合う．この多成分初期値問題の解の分類を行うために単成分の初期値問題について諸結果を成分系の形に書き換えた．
さらに分類のためm成分のうち，対応する移流係数と粒子場係数の積が－１となる方程式の数に着目した，それをここではsとする．sとmが一致するとき，未知関数の総和量を考えると単成分の問題に置き換えることができ，Ogawa-Wakui(2016)の爆発の結果を適用することで時間大域解，有限時間爆発解を求めるができる．s＜mの場合にはまずm=2の高次元初期値問題を考える．対応する２つの未知関数の和関数と差関数を導入すると，和関数と差関数に関する２つの移流拡散方程式とポアッソン方程式の系の高次元初期値問題はKurokiba-Ogawa（空間2次元）(2003)の高次元版になる．この問題は差関数の初期値に正値性を与えることで２次モーメントの方法で爆発解を構成できる．これらの成果を基盤として，一般のm>2で考える．対応する移流係数の符号，粒子場係数の符号，対応する移流係数と粒子場係数の積の符号，正の移流係数の数と正の粒子場係数の数の大小関係の組み合わせにより，それぞれの初期値問題の解について調べ，対応する問題の時間大域解と有限時間爆発解を求めた．

Current Status of Research Progress

3: Progress in research has been slightly delayed.

Reason

高次元移流拡散方程式系の初期値問題に対する爆発解を導くために２次モーメントの方法を適用した．２次モーメントの方法には関数の正値性が必要であるため対応する２つの未知関数の和関数と差関数に関する２つの移流拡散方程式とポアッソン方程式の系の高次元初期値問題を考察する際，比較定理が適用できるように、初期条件に制限が必要となる．今回は初期条件に各点の大小関係を付加した．この条件をはずすことを試みたが解決できなかった．和関数と差関数のアイデアと２次モーメントの方法以外の解析法をつくるため時間を要する．

Strategy for Future Research Activity

研究代表者は，単成分の非退化型移流拡散方程式系の解の構造，爆発条件について研究を行ってきた．さらに問題を多成分系の初期値問題に発展させ，方程式の係数による解の分類を行ってきた．これらの解析法を改良して空間高次元退化型移流拡散方程式系の初期値問題の解の構造と有限時間爆発解の爆発条件について研究を行う．そのために共同研究である東北大学大学院理学研究科の小川卓克教授と研究打合せおよび情報交換を行う．また流拡散方程式系の専門家である国内外の研究者と情報交換を行い，関連する研究打ち合せを行う．さらに関係する国際研究集会，日本数学会，国内研究会，セミナーに出席し，成果発表，研究者との討論，情報交換を行う．また室蘭工業大学にて研究者15名程度の規模で研究集会を開催し，非線系偏微分方程式に関する最先端の情報収集を行う．

Causes of Carryover

期待する期待する研究成果を計画通りに得られなかったことにより学会講演、国際研究集会の発表がかなわなかった。そのため本研究の前半で予定した国内、海外の研究活動を後半に重点的に行う．