2016 Fiscal Year Research-status Report
構造相転移を伴う非線形自由境界問題における形態変化する安定構造の研究
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16K05224
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| Research Institution | Chiba University |
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Principal Investigator |
白川 健 千葉大学, 教育学部, 准教授 (50349809)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 構造相転移 / 自由境界問題 / 結晶構造の動的変化 / 結晶構造の形態変化を伴う提案モデル / 動的境界条件の実装 / 提案モデルの数学解析 / 数値計算 / 制御問題 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の主題は多結晶体における構造相転移を伴う自由境界問題の数学解析であり、平成28年度における達成目標は考察する数学モデルを絞り込む事によって、今後の展開の見通しを得る事であった。この目標に対し、当該年度では大きく以下三点を、得られた成果として挙げる事ができる。
一点目は、結晶構造を表す「ウルフ図形」が結晶方位の変化と合わせて動的に形態変化する独自の提案モデルを構築し、時間的・空間的に滑らかさを仮定するケースにおける提案モデルの解の存在の保証にも成功した点である。更に、提案モデルと熱方程式とを組み合わせた連立系の構成に関しても既に考察の見通しが得られているため、温度変化を引き金にした構造相転移とこれに関連する制御問題に対する研究において、大きな一歩を踏み出す事ができたと実感している。
二点目は、「力学的境界条件」のような結晶周囲の動的な環境変化を表す境界条件にも対応可能となるように、数学理論の改良に向けた新しい研究目標を開発できた点である。力学的境界条件に関してはAllen-Cahn方程式という「テストモデル」に対する数学解析法が構築できた段階であるが、先述の提案モデルへの実装の見通しは得られており、今後の発展が十分に期待できる成果といえる。
三点目は、(A)提案モデルの数学解析、(B)提案モデルの数値計算と制御問題の考察、(C)力学的境界条件の実装、のそれぞれの領域において、(A)はバレンシア大学(スペイン)、(B)はジョージ・メイソン大学(USA)、(C)はパヴィア大学(イタリア)という、具体的な研究機関との研究協力体制が確立できた事である。特にバレンシア大学以外は、本科研費計画の開始後に開拓した協力関係であり、この点において、当該年度では当初計画の予想を上回る成果が得られたといえる。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
平成28年度当初の計画であった数学モデルの絞込みに関しては、結晶構造の形態変化を伴う新しい数学モデルを独自に提案できた点において、計画通りの成果が得られたと評価している。加えて、計画段階では次年度以降の内容とした提案モデルの数学解析にまで着手できた事から、実際には当初の計画以上の成果が得られている。
国内外の研究者との連携も順調であり、特に当初計画にあったS.モール氏(バレンシア大)と渡邉紘氏(大分大)とは、平成28年度10月に千葉大学にて研究討論の機会を設け、提案モデルの数学解析に関する今後の研究方針を固める事ができている。他でも、山崎教昭氏(神奈川大学)と村瀬勇介氏(名城大)とも定期的な研究打ち合わせを行っており、平成30年度以降に本格化する予定の最適制御問題に備えた連携体制の構築が、確実に進んでいる。
更に当該年度では、P.コリー氏・G.ジラルディ氏(パヴィア大)との共同研究活動を通して「力学的境界条件を提案モデルに組み入れる」という発想が得られ、この発想を成果として具体化する見通しも得られている。更に年度後半では、H.アンティル氏(ジョージ・メイソン大)も計画に加わる事になり、「数値計算」と「最適制御」の双方における協力関係を開拓する事もできている。こうした多数の海外研究者の参戦は計画当初の想定にはなかった新しい展開であり、これにより「提案モデルの数学解析」「動的境界条件等によるモデルの改良」「数値計算・最適制御問題」すべての分野の研究を、同時並行で進める研究協力体制が確立できた事になる。
以上を総括すると、平成28年度では計画していたモデリングの課題のみならず、次年度以降の課題遂行に向けた新しい見通しとこれを実現する連携体制を整える事ができたと見ており、現時点での計画は当初の予定以上に進展していると自己評価している。
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| Strategy for Future Research Activity |
平成29年度では、平成30年度からスタートする最適制御問題の考察を念頭に置き、提案モデルの数学理論による解析法の構築を活動の中心とする。
平成29年度の到達目標は、最適制御問題や数値計算で重要となる「解の連続依存性」に対する成果を得る事であり、現時点では解の一意性が未保証である点が大きな障壁となると予想している。従って平成29年の9月末の時点で展望が得られない場合は、一意性の保証が可能な近似問題やテストモデルを幾つか試作し、最も有望なものを考察の対象に切り替える事で、平成30年度から確実に最適制御問題の活動が開始できるよう計画を修正する。逆に、計画が順調に進行した場合は、提案モデルが「支配エネルギーの勾配流」という物理的背景に適ったものであるかどうかについても考察を進め、解の時間無限大での漸近挙動等の発展的な内容に関する成果も狙えるように、活動の範囲を拡大する。他でも、提案モデルに対する数値計算アルゴリズムを改良し、得られた数学解析に対する十分な数値実験データが得られるようにする。その上で、数学解析の方は研究代表者を中心に山崎氏(神奈川大)と渡邉氏(大分大)の協力を仰ぎながら進め、数値実験については計算を走らせる作業を村瀬氏(名城大)・H.アンティル氏(ジョージ・メイソン大)に依頼し分担するなどして、確実に双方の成果が得られるように配慮しながら課題を遂行する。
これに対し平成30年度以降の制御問題に関する活動では、温度を制御とする最適制御問題の考察から着手する。本研究では、数学解析と数値計算の双方の分野に研究協力体制が構築できているので、平成30年度には確実にどちらか一方の分野において成果を得る見通しを持っており、余力があれば最終年度の平成31年度には圧力等の他の要素も絡めた問題に取り組みたいとも考えている。
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[Presentation] 微分方程式とその応用例.2016
Author(s)
白川 健:
Organizer
第 2 回数理科学夏季若手研究会
Place of Presentation
京都教育大学1号館A棟2階A3教室 (京都)
Year and Date
2016-09-08 – 2016-09-09
Invited
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