2017 Fiscal Year Research-status Report
構造相転移を伴う非線形自由境界問題における形態変化する安定構造の研究
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16K05224
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| Research Institution | Chiba University |
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Principal Investigator |
白川 健 千葉大学, 教育学部, 准教授 (50349809)
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2016-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 構造相転移 / 自由境界問題 / 熱方程式との連立モデル / 温度による制御問題 / 仮似変分構造 / 発展方程式 / 抽象数学による制御理論 / モデリングにおける新展開 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の主題は多結晶体における構造相転移を伴う自由境界の数学解析であり、特に平成29年度における大きな達成目標は、前年度で提案した数学モデルの数学的考察および数値計算アルゴリズムの構築を進めることで、平成30年度より開始予定の最適制御問題の課題遂行のための研究基盤を整備することであった。この目標に対し、当該年度では大きく以下三点を、得られた成果として挙げることができる。
一点目は、提案モデルを熱方程式と連立させた形に一般化し、この連立モデルの解の存在および連続依存性を数学理論によって保証した点である。この研究成果により、構造相転移を伴う自由境界を対象とした温度による制御問題を扱うための研究基盤が整備できたとみている。
二点目は、先の熱方程式との連立モデルを更に抽象的に捉えた「仮似変分構造を伴う発展方程式」にも考察の範囲を拡大し、こちらに対する抽象数学による制御理論を構築した点である。これにより、構造相転移を伴う自由境界問題に対しては、現象を統一的視点で捉える「抽象的観点による考察」と数値計算等による「形態変化の具体的追跡」の双方の研究手法が整ったことになる。更に、上記の「仮似変分構造」は構造相転移以外でも複雑系経済においてもしばしば現れるキーワードであるため、本研究の進展次第では、得られた成果が幅広い現象解析の分野に波及効果をもたらすことも、大いに期待できる。
三点目は、主に「バレンシア大学（スペイン）」「ジョージ・メイソン大学（USA）」「パヴィア大学（イタリア）」等の海外の研究機関との共同研究活動を通し、より複雑な構造相転移を捉えることを可能とする、新しいモデリングのアイデアが提案できた点である。更にその過程で、前年度の提案モデルに対する改良点も指摘されたことは、当初の予想を上回る研究の新展開のひとつとして、特筆することができる。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
平成29年度の達成目標であった熱方程式との連立モデルの考察に関しては、概ね予定通り計画が進行している。これに加えて、仮似変分構造を持つ発展方程式を基軸とする抽象数学よる制御理論が構築できた点は、当初の予定になかった嬉しい誤算というだけでなく、構造相転移以外の幅広い分野への波及効果をももたらし得る、大きな進展である。数値計算に関しても、アンティル氏 (ジョージ・メイソン大学)、山崎 教昭氏（神奈川大学）との研究協力体制によって既に計画が動き始めており、特にH.アンティル氏とは5月に氏の拠点であるジョージ・メイソン大学にて、研究打ち合わせを行うことが決まっている。また、P.コリー氏・G.ジラルディ氏（パヴィア大学）との共同研究では、力学的境界条件をはじめとする多彩な条件に対応可能な数学理論も構築することができている。他でもS.モール氏 (バレンシア大学)および渡邉 紘氏（大分大学）による共同研究体制においても実績が積み上げられてきており、自由境界の幾何学的形態変化の数学理論による追跡に向けて、着実に研究基盤が整備されつつある。
更に、前年度に区切りをつけたとしていたモデリングにおいて新しいアイデアが提案できたことは、イレギュラーな展開ながら研究計画の将来性を強く後押しし得るものと、前向きに評価している。しかしその反面で、新しいアイデアの妥当性を検証する数値実験データの算出が急務となっており、また検証実験の結果次第で計画の大幅な変更もあり得ることを鑑みると、少なからぬ不確定要素を含んだ状況にもなっている。
以上により、平成29年度では当初の予想を上回る新展開はいくつかみられたものの、先述の不確定要素に関しては慎重な姿勢で臨むべきと判断しており、全体としては「概ね順調」という評価が妥当とみている。
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| Strategy for Future Research Activity |
平成30年度においては、「5月にH.アンティル氏とジョージ・メイソン大学にて」、「6月にS.モール氏とカナダの国際研究集会にて」、「10月にS.モール氏および渡邉 紘氏と京都の国際研究集会にて」といった、計3回の研究打ち合わせを行うことが決まっている。特に、5月の打ち合わせは扱う数学モデルと対応する制御問題を確定させることが主な目的であり、この意味では当該年度において最も重要度の高い打ち合わせといえる。5月の打ち合わせでは、「（A）熱方程式との連立モデルの制御理論の構築」と「（B）平成29年度で提案された修正モデルの数値計算と制御問題の構築」の2つの課題が議論の焦点であり、平成30年度ではこれらの進捗によって大きく以下2つの展開が考えられる。
課題（A）の進捗が順調である場合は、当初の予定通り熱方程式との連立モデルを研究対象とし、温度による制御問題に対して「数学解析はモール氏・渡邉氏との共同研究」、「数値計算はアンティル氏との共同研究」というように、作業を分担して課題を遂行する。現時点では制御問題の数学解析において直面するであろう困難がいくつかみつかっており、この困難に対して解決の見通しが得られるかどうかが、課題（A）の進捗を評価するポイントとなる。
また5月中に課題（A）の遂行に展望が得られない場合は、課題（B）に対する活動に、計画を変更する。平成29年度における修正モデルは、従来の提案モデルと同等の物理的妥当性を有しながら、従来モデルに比べて合理的な式表現を実現するものとなっている。したがって、課題（B）の活動では、アンティル氏と共同で数値計算の成果は確実に得られる見通しを持っている。対してモール氏・渡邉氏とは課題（B）に対する理論解析に取り組むとともに、最終年度の自由境界の幾何学的形態変化の考察に対しても、研究基盤を整備する。
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