2018 Fiscal Year Research-status Report
構造相転移を伴う非線形自由境界問題における形態変化する安定構造の研究
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16K05224
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| Research Institution | Chiba University |
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Principal Investigator |
白川 健 千葉大学, 教育学部, 准教授 (50349809)
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2016-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 自由境界問題 / 構造相転移 / 制御問題 / 数値計算 / エネルギーの形態変化 / 仮似変分不等式 / 結晶構造解 / 発展方程式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の主題は多結晶体における構造相転移を伴う自由境界の数学解析であり、平成30年度での達成目標は、考察する数学モデルに対する制御問題を構築する事であった。この目標に対し、当該年度では大きく以下三点を、得られた成果として挙げる事ができる。
一点目は、結晶粒界の数学モデルにおいて、数学モデルの線形化システムおよびその双対システムを明らかにし、それらの可解性および連続依存性等の基本性質を数学理論によって示した点である。この研究成果により、温度変化を制御とする最適制御問題の解（最適制御）の存在が保証できただけでなく、最適制御の効率的な数値計算を可能とする数値計算アルゴリズムの構築に対しても、研究の展望を大きく開く事ができた。
二点目は、構造相転移をエネルギーの形態変化として捉えた仮似変分不等式による数学モデルを新たに提案し、提案モデルの基本性質に関して考察を与えた点である。現時点では、より一般的な枠組みでの考察が課題として残るものの、この研究成果により構造相転移を伴う自由境界問題において、観測データからエネルギーの形態を推定する逆問題的なアプローチも今後の研究の視野に入れる事が可能となった。
三点目は、先述の結晶粒界モデルにおいて「結晶構造解」という結晶の物理的特性と関連性が強い解のクラスを独自に設定し、結晶構造解の支配方程式を明らかにする事によって、難航していた解の一意性の成立条件を明らかにした点である。一意性に関しては、数学モデルの主要部を有限次元空間上の発展方程式によって単純化できた点が成功の主な要因であり、この成果をもとに結晶構造解に対する制御理論や数値計算に対しても従来より簡潔かつ効率的な解析法が開発できるのではないかと、今後の展開に大いに期待を寄せている。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
平成30年度の達成目標であった構造相転移を伴う自由境界問題の制御理論の構築に関しては、概ね予定通り計画が進行している。特に結晶粒界の温度による最適制御問題に関しては順調に進捗しており、空間１次元と多次元のケースに分け、計画期間終了までに研究成果を発表する見通しが立っている。また、仮似変分不等式による数学解析において、構造相転移をエネルギーの形態変化と対応させる試作モデルが得られた事は、結晶形成メカニズムおよび制御に関する更に深い理解につながるものとして評価している。実際、今回得られた試作モデルは温度と圧力の双方を制御項とする考察や、ソフトマターに表れる予測が困難な形態変化の制御問題の考察をも視野に入れたものであるため、今後の活動においてより実用的かつ高精度の成果が狙える可能性が高くなったと考えている。
加えて、研究業績の概要欄で述べた結晶粒界モデルの「結晶構造解」に関する活動において、計画当初から難航していたモデルの解の一意性の成立条件を明らかにできた事は、今年度で得られた最大の収穫とみている。現時点では、結晶構造解の解挙動に関しても解析が進んでおり、空間１次元の場合では解の存在・連続依存性といった定性的性質だけでなく、自由境界の有限時間消滅等の定量的な性質についても、成果が得られる見通しである。こうした定性的・定量的の両側面からの解析結果は、制御問題等の発展的課題においても簡潔かつ高精度の成果を得る際に有効であると考えている。しかしながら、数値計算に関しては予想よりもタスクが集中した事から人手が不足しており、十分な数値実験データの蓄積が次年度における直近の課題となっている。
以上により、平成30年度では当初の予想を上回る新展開はみられたものの、数値計算活動の遅延等を考慮すると、総合的には「概ね順調」という評価が妥当とみている。
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| Strategy for Future Research Activity |
平成３１年度においては、「５月にジョージ・メイソン大学（アメリカ合衆国）にて」、「６月に東京大学（日本）にて」、「７月にバレンシア（スペイン）の国際研究集会にて」という様に、計３回の研究打ち合わせを行う事が決まっている。本年度で取り組むべき課題は「（A）結晶粒界の温度制御問題」と「（B）自由境界の形態変化の幾何学的考察」の２つであり、これら２つの課題に対する年度内の成果発表に重点を置きつつ、先述の研究打合せを通じて共同研究者と連携を取り合いながら計画を進める。
５月の研究打合せでは、課題（A）に関する未発表の研究成果の整理および、発表の時期・手段に関する具体的な段取りが議論の焦点となる。数学理論の方面では一般空間多次元での制御理論の構築にまで見通しが立っており、年度内での成果発表は確実視できる状況である。更に５月の打ち合わせでは数値解析の専門家の協力も呼びかけ、より完成度の高い内容を、理解しやすい形で発信できるようにする。
これに対し６月の研究打合せの目的は、課題（B）に関する研究の進捗と成果発表のめどをつける事である。現時点では東京大学以外でもワルシャワ大学（ポーランド）からの研究協力が得られており、結晶粒界モデルの基礎方程式に関する研究論文１本を専門誌に投稿し、現在査読の結果を待っているところである。６月の打ち合わせでの焦点は空間２次元の場合であり、エネルギーが有する非等方的計量と自由境界の形状形成パターンとの関連をどの程度まで解明できるかが、課題遂行の鍵となる。
最後に７月の研究打合せには、「１次元結晶構造解の研究成果発表」と「結晶粒界の３次元モデルの考察」の２つの目的がある。特に空間３次元モデルは本研究計画期間中に着手できるとは予想していなかったため、打ち合わせの進捗次第では本研究期間を延長する事も、視野に入れている。
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