2016 Fiscal Year Research-status Report
流体方程式の解の正則性と一意性についての調和解析学的研究
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16K05228
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| Research Institution | Shinshu University |
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Principal Investigator |
谷内 靖 信州大学, 学術研究院理学系, 教授 (80332675)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 関数方程式 / 流体力学 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
水や油などの粘性のある縮まない流体（非圧縮性粘性流体）の運動を記述する非圧縮性Navier-Stokes方程式の解の正則性に関して、関数解析学的手法および調和解析的手法を用いて研究を行った。ここで、非圧縮性Navier-Stokes方程式とは、流体の速度場u(x,t)と圧力場p(x,t)を未知関数とする非線形偏微分方程式系である。同方程式に関して、初期条件がある意味で大きい場合、なめらかな解が時間大域的に存在するかどうかは未解決な問題である。この問題に対して、Beale-Kato-Majdaの爆発判定条件が有名である。すなわち、時間区間[0,T)までなめらかな解が存在し、各時刻における渦度のsupremum normが区間[0,T)上で可積分であれば、なめらかな解が時刻Tより先まで延長できることが知られている。このBeale-Kato-Majdaの爆発判定条件は、流体の存在する領域が全空間の場合、多くの改良がなされている。例えば、supremum normの代わりに、BMO-normやBMOより広いBesov空間のnormを使っても同様のことが言えることが証明されている。しかし、一般領域上では、この種の研究はあまりない。私は、同様の改良が全空間のみならず、もっと一般の領域（例えば外部領域や有界領域、半空間など）でもできることを示した。特に、ある対数型の不等式（Brezis-Gallouet-Wainger型の不等式）の改良に成功し、それを用いることにより、これまで知られている結果の改良に成功した。また、エネルギークラスに属さない解を扱っている点で、考える領域が全空間の場合においてさえも、これまでの知られている結果の改良になっている。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
当初の計画では、非圧縮性粘性Navier-Stokes方程式に対し、弱Ln空間に値をとる関数として時間変数に関して連続な解の正則性の研究と、Beale-Kato-Majda型の爆発判定条件の改良であった。後半部分に関しては、大幅に改良ができた。特に領域が外部領域などの一般的な領域の場合でも改良に成功した。このことをふまえ、おおむね順調に進展していると判断される。
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| Strategy for Future Research Activity |
Navier-Stokes方程式の解の正則性に関して、Beale-Kato-Majda型の条件だけでなく、Serrin型の正則条件が知られている。今後はSerrin型の正則条件の改良を試みる。また、非常に一般的な領域上のNavier-Stokes方程式の解の正則性も考察する。さらに、熱対流方程式に関しても同様の研究を行う。
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| Causes of Carryover |
イタリアで研究発表したおりに、航空券が当初計画よりほんのすこし安くなっため、次年度使用額が生じた。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
繰越し金が1653円と少ないため、平成２９年度請求額と合わせて当初計画どおり使用する予定である。
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