2018 Fiscal Year Research-status Report

流体方程式の解の正則性と一意性についての調和解析学的研究

Research Project

Project/Area Number	16K05228
Research Institution	Shinshu University
Principal Investigator	谷内靖信州大学, 学術研究院理学系, 教授 (80332675)
Project Period (FY)	2016-04-01 – 2021-03-31
Keywords	Navier-Stokes方程式 / 偏微分方程式 / 非圧縮性粘性流体
Outline of Annual Research Achievements	平成２８年度および２９年度に引き続き、平成３０年度も水や油などの粘性のある縮まない流体(非圧縮性粘性流体)の運動を記述する非圧縮性Navier-Stokes方程式の解の正則性に関して、関数解析学的手法および調和解析的手法を用いて研究を行った。ここで、非圧縮性Navier-Stokes方程式とは、流体の速度場u(x,t)と圧力場p(x,t)を未知関数とする非線型偏微分方程式系である。同方程式に関して、初期条件がある意味で大きい場合、なめらかな解が時間大域的に存在するかどうかは未解決な問題である。この問題に対して、Beale-Kato-Majda型の爆発判定条件及びSerrin型の爆発判定条件が有名である。平成２８年度はBeale-Kato-Majda型の爆発判定条件、平成２９年度はSerrin型の爆発判定条件を考察したが、平成３０年度は、再びBeale-Kato-Majda型の爆発判定条件を考察した。Beale-Kato-Majdaの爆発判定条件とは、時間区間[0,T)でなめらかな解が存在し、各時刻における渦度のsupremum normが区間[0,T)上で可積分であれば、すなわち、渦度がL^1(0,T;L^{\infty})に属していれば、なめらかな解が時刻Tより先まで延長できるというものである。我々はこの条件を少し緩めることに成功した。具体的には、時間変数に関してL^1-normではなく、logの重みを付けたものに変更することに成功した。この結果は扱う領域が全空間の場合はすでに知られているが、我々は外部領域などの一般的な領域でも、この種の改良に成功した。
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned. Reason 当初計画では、Navier-Stokes方程式の解の正則性に関するSerrin型の正則条件の特別な場合である弱L^nに値をとる関数として時間変数に関して連続な解の正則性の証明を行う予定であったが、Serrin型ではなくBeale-Kato-Majda型の正則条件（爆発判定条件）を大幅に改良できた。特に、外部領域などの非有界領域上の流体に対しても改良できた。
Strategy for Future Research Activity	Navier-Stokes方程式の解の正則性に関して、Beale-Kato-Majda型やSerrin型の正則条件が知られている。今後もこれらの正則条件の改良を試みる。これらの条件の改良のために、Brezis-Gallouet-Wainger型の不等式が重要な役割を果たす。我々はすでに同不等式の改良版を用いることにより上記の正則条件を改良しているが、今後も、調和解析学を用いて同不等式のさらなる改良を行い、Navier-Stokes方程式の解の正則条件の改良を試みる。さらに、熱対流の運動を記述する方程式に関しても同様の研究を行う。
Causes of Carryover	(理由)国際研究集会を開催し、海外から研究者を招いたが、航空券代や宿泊費が当初計画より安くなったため。 (使用計画)今年度、信州大学において研究集会を開催し、多くの研究者を招き共同研究を行うが、当初計画より滞在日数を増やし、より充実した共同研究を行う。次年度使用額は、平成３１年度請求額と合わせて、その旅費の増加分に充てる。