2019 Fiscal Year Research-status Report
流体方程式の解の正則性と一意性についての調和解析学的研究
| Project/Area Number |
16K05228
|
|---|
| Research Institution | Shinshu University |
|---|
Principal Investigator |
谷内 靖 信州大学, 学術研究院理学系, 教授 (80332675)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2021-03-31
|
| Keywords | Navier-Stokes方程式 / 偏微分方程式 / 非圧縮性粘性流体 |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
令和元年度も水や油などの粘性のある縮まない流体(非圧縮性粘性流体)の運動を記述する非圧縮性Navier‐Stokes方程式の解の正則性に関して、関数解析学的手法および調和解析的手法を用いて研究を行った。ここで、非圧縮性Navier‐Stokes方程式とは、流体の速度場u(x,t)と圧力場p(x,t)を未知関数とする非線型偏微分方程式系である。同方程式に関して、初期条件がある意味で大きい場合、なめらかな解が時間大域的に存在するかどうかは未解決な問題である。この問題に対してBeale‐Kato‐Majda型の爆発判定条件を考察した。Beale‐Kato‐Majdaの爆発判定条件とは、時間区間[0,T)でなめらかな解が存在し、各時刻における渦度のsupremum normが区間[0,T)上で可積分であれば、すなわち、渦度がL^1(0,T;L^{\infty})に属していれば、なめらかな解が時刻Tより先まで延長できるというものである。平成３０年度は時間変数に関してL^1‐normではなく、logの重みを付けたものに変更することに成功したが、令和元年度には、時間変数はL^1-normのままにして、空間変数に関するsupremum normを弱めることに成功した。具体的には、Vishik型のノルム空間を導入し、Beale‐Kato‐Majdaの爆発判定条件を改良した。もともとのVishik型ノルムはL^{\infty}ノルムを用いて定義され、同空間はL^{\infty}より広い空間であるが、私は、L^{\infty}ノルムの代わりにBMOノルムを用いた改良型のVishik空間を導入し、それを用いることにより、Beale‐Kato‐Majdaの爆発判定条件の改良に成功した。
|
| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
当初計画では、Navier‐Stokes方程式の解の正則性に関するSerrin型の正則条件の特別な場合である弱L^nに値をとる関数として時間変数に関して連続な解の正則性の証明を行う予定であったが、Serrin型ではなくBeale‐Kato‐Majda型の正則条件(爆発判定条件)を大幅に改良できた。
|
| Strategy for Future Research Activity |
Navier‐Stokes方程式の解の正則性に関して、Beale‐Kato‐Majda型やSerrin型の正則条件が知られている。今後もこれらの正則条件の改良を試みる。これらの条件の改良のために、Brezis‐Gallouet‐Wainger型の不等式が重要な役割を果たす。我々はすでに同不等式の改良版を用いることにより上記の正則条件を改良しているが、今後も、調和解析学を用いて同不等式のさらなる改良を行い、Navier‐Stokes方程式の解の正則条件の改良を試みる。さらに、熱対流の運動を記述する方程式に関しても同様の研究を行う。さらに、時間周期解等の時間マイナス無限大から続く解の一意性に関しても考察する。
|
| Causes of Carryover |
(理由) 新型コロナの影響で、３月の出張を取りやめたため。
(使用計画) 今年度、研究集会を開催し、多くの研究者を招き共同研究を行う予定であるが、当初計画より滞在日数を増やし、より充実した共同研究を行う。次年度使用額は、令和２年度請求額と合わせて、その旅費の増加分に充てる。
|
