2020 Fiscal Year Annual Research Report
On regularity and uniqueness of solutions to partial differential equations in Fluid Mechanics and Harmonic Analysis
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16K05228
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| Research Institution | Shinshu University |
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Principal Investigator |
谷内 靖 信州大学, 学術研究院理学系, 教授 (80332675)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | Navier-Stokes方程式 / 熱対流方程式 / 偏微分方程式 / 非圧縮性流体 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
令和2年度においては、水や油などの非圧縮性粘性流体の運動を記述するNavier‐Stokes方程式および熱の効果を考慮したBoussinesq方程式の解の性質に関して、関数解析学的手法および調和解析的手法を用いて研究を行った。ここで、Navier-Stokes方程式とは、流体の速度場u(x,t)と圧力場p(x,t)を未知関数とする非線形偏微分方程式であり、Boussinesq方程式は、u,pに加えて温度分布\theta(x,t)を未知関数とする非線型偏微分方程式系である。 非有界領域上のBoussinesq方程式に関して、時間周期解のような時間軸全体で定義された（特に時刻マイナス無限大から定義された）解の一意性に関して研究した。そのような解の存在に関しては、すでに知られているが、一意性に関しては、部分的な結果しか知られていなかった。 すなわち、同じデータに対し２つの解が存在したとし、その両方が(ある意味で)小さいと仮定した場合のみ、両者が一致することが知られていた。 私はすでに共著者とともに、Navier-Stokes方程式に対しては、解の値域が適当な関数空間でprecompactであれば、２つの解の一方だけ小さければ、一意性が成り立つことを証明しているが、これと同様の結果がBoussinesq方程式の解に関しても成り立つことが証明できた。
研究期間全体を通しては、非圧縮性Navier-Stokes方程式の強解に関して、Beale‐Kato‐Majda型の爆発判定条件及びSerrin型の爆発判定条件の改良にも成功した。 この改良のためにBrezis-Gallouet-Waingerの対数型不等式の改良に成功した。とくに、この不等式を満たす最大のBanach空間も求めることが出来た。
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