2016 Fiscal Year Research-status Report
非線形な拡散効果を伴う２種競争系の大域的な解構造の研究
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16K05233
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| Research Institution | Ehime University |
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Principal Investigator |
観音 幸雄 愛媛大学, 教育学部, 教授 (00177776)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
桑村 雅隆 神戸大学, 人間発達環境学研究科, 教授 (30270333)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | ２種競争系 / 球対称解 / 解構造 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究では，重定・川崎・寺本(1979)により提案された個体群密度に依存する非線形な拡散を伴う２成分反応拡散系（２種競争系）を研究対象とし，その非負な定常解および周期解の解構造を理解することを主な研究目的としている．今年度は，競争関係にある２種の住処を球の内部とし，種間競争係数が他のパラメータに比べて非常に大きい場合について，２種競争系から縮約された２種類の反応拡散系について調べた．
一つ（反応拡散系(A)）はDancerら(1999)が導出した反応拡散系と本質的に同じ系である．この系は振幅が比較的大きい解を記述しており，系が単独の反応拡散方程式に帰着できるため，その解構造はほぼ完全に決定することができている．また，もう一つ（反応拡散系(B)）は，正値定数解の周りで振幅が比較的小さい解を記述する反応拡散系である．この系は単独の反応拡散方程式に帰着できないために，その解構造はかなりの部分まで分かってきているが，数学的にはまだ完全に理解できていない．しかしながら，解構造を数値的に調べると，正値定数解から分岐した非定数正値定常解の解構造は２次分岐を起こさない単純なものであることが分かった．
これらから，種間競争係数が他のパラメータに比べて非常に大きい場合には，反応拡散系(A)と反応拡散系(B)は拡散項が線形である古典的な２種競争系から得られるものと本質的に同じであるため，非線形拡散による影響が正値定常解の解構造に現れないことが分かった．これまでに得られた結果は論文としてまとめる予定にしている．
研究分担者の桑村は，上記に加えて，保存量をもつ２成分反応拡散系についても研究を進めており，空間的に一様で時間周期的な解が拡散効果により不安定化し，空間的に非一様で時間周期的な安定な解に遷移するという現象を数学的な手法と数値的な手法を相互補完的に用いて調べている．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
反応拡散系(B)については，解構造がまだ完全に理解できているわけではないが，定数定常解から非定数定常解が分岐する分岐点や，枝が非有界になる値などを総合すると，導出した２種類の反応拡散系は妥当なものであると考えられる．また，本研究課題の申請時には常微分方程式の意味で安定な２つの平衡点を結ぶ進行波解が周期解の解挙動を司ると考えていたが，数値計算では，安定な平衡点と不安定な平衡点を結ぶ進行波解が解挙動を支配していることが分かった．このことは，時間空間的な解の挙動を調べる上で重要な手がかりとなる．
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| Strategy for Future Research Activity |
引き続き，縮約された反応拡散系(B)を解析し，種間競争係数が他のパラメータに比べて非常に大きい場合について，２種競争系の正値定常解の解構造を調べる．また，時間周期的で空間的に非一様な解の動態を理解するために，常微分方程式の意味で安定な平衡点と不安定な平衡点を結ぶ進行波解の研究に着手する．さらに，２種競争系から縮約された２種類の反応拡散系がそれぞれ古典的な２種競争系によるものと類似していることから，非線形拡散，特に交叉拡散による効果が解構造に与える影響を調べることができていない．そのような影響を理解するために，別のパラメータ領域においても縮約された反応拡散系の導出を試みる予定である．
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| Causes of Carryover |
旅費を使って，本研究に関連するさまざまな文献や情報などを収集してきたが，関係者の好意により謝金を支払うことがなかった．
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
国内外の研究集会での研究発表，本研究と密接に関連する研究者や研究分担者との研究打ち合わせのための旅費として使用する．
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