2016 Fiscal Year Research-status Report
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16K05236
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| Research Institution | Saga University |
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Principal Investigator |
梶木屋 龍治 佐賀大学, 工学(系)研究科(研究院), 教授 (10183261)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 最小エネルギー解 / 楕円型偏微分方程式 / p ラプラス方程式 / 無限に多くの解 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
1. ディリクレ境界条件のもとで, pラプラス偏微分方程式を考察した. 非線形項についての従来よりも, かなり弱い条件の下で, 無限に多くの解の存在を証明した. 0に収束する解の列の存在を証明した. さらに零解が解全体の集合の集積点となる場合と孤立点になる場合についての非線形項の条件を調べた.
2. 球において, pラプラス方程式をディリクレ境界条件のもとで研究している. 非線形項の係数関数が球対称であり, さらにこの関数が球面の十分小さな近傍で正であり, それ以外では負となる場合を研究している. このとき, レイリー商を最小にする解を最小エネルギー解と呼ぶ. それは正の解になる. この解の研究は, 放物型方程式の安定な定常解の研究に結びついているために極めて重要である. エネルギー最小解は球対称でないことを証明した. 従って, この方程式は正値球対称解と球対称でない正値解の両方を持つことが証明された. この結果は従来の研究では, 知られていなかった結果であり, pラプラス方程式の解空間が抱負であることを示している. 3. 有界領域においてディリクレ境界条件の下で, (p,q)ラプラス方程式を研究している. 0に収束する解の列が存在するための非線形項に対する十分条件を与えている. さらに無限大に発散する解の列が存在するための非線形項に対する十分条件を与えている. また,非線形項に対する適切な条件の下に, 解の一階微分の先験的評価を与えている. これらの結果は, 非線形項に対して極めて弱い仮定のみを用いている. 従来の結果よりも非常に一般的な条件の下で定理が証明されている.
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
2016年度は3編の論文が査読付きの専門誌に掲載された. 2回の国際研究集会, 4回の国内研究集会での講演発表を行った. 研究業績の概要でも述べたように, pラプラス方程式の無限に多くの解の存在, 零解に収束する解の列の存在, 無限大に発散する解の列の存在を証明している. さらに(p,q)ラプラス方程式についても, 0に収束する解の列が存在するための非線形項に対する十分条件を与えている. 無限大に発散する解の列が存在するための非線形項に対する十分条件を与えている. また,非線形項に対する適切な条件の下に, 解の一階微分の先験的評価を与えている. そのため本研究は順調に進展していると考えられる.
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| Strategy for Future Research Activity |
1. p-Laplace 方程式をディリクレ境界条件の下で考える. 非線形項の係数関数が符号変化する場合に, 最小エネルギー解が球対称でないことを証明する.
2. 1次元(p,q)ラプラス方程式の解の分岐についての研究を行う. 従来, (p,q)ラプラス方程式の正値解の存在が知られているが, 分岐パラメーターを動かしたときに, それらがどのように変化するかについては, ほとんど知られていない. 分岐の形状を詳しく調べ, 分岐図の形を描くことが本研究の目的である.
3. 直交群の２つの閉部分群HとGを考える. ここでHはGの部分群とする. pラプラス方程式を穴の空いたG不変領域で考える. このときH不変な最小エネルギー解はG不変でないことを証明する. この研究は, 解の対称性, 非対称性を調べる上で基本的な研究であり, 解空間の豊富さを証明することにつながる.
4. これらの問題を解決するには, 多くの数学的理論が必要となる. 変分法, 関数解析, 楕円型偏微分方程式論, ソボレフ空間論などである. これらに関する書籍, 専門書, 電子ファイル, 論文などを多く集め, 精読し理解する. さらに他の研究者と連絡を取り合って, 本研究に関連した詳しい情報を入手する. これらのデータをパソコンの中にデジタルデータとして保存し, 常時参照できるようにする. また,７月にスロバキアで開催される国際会議で今までの研究成果を発表する予定である.
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| Causes of Carryover |
今年度は, 国内の研究集会にあまり出席しなかったため, 出張費にあまり科研費を使わなかったため.
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
スロバキアでの国際会議が7月に開かれる. これに出席して研究成果を発表し,同時に研究打ち合わせを行う. またこの会議で最新の研究情報を得る予定である. 夏の航空運賃は非常に高いのでこの出張旅費に使用する予定である.
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