2018 Fiscal Year Annual Research Report
Study on free boundary problems and reaction-diffusion equations arising in mathematical ecology
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16K05244
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| Research Institution | Waseda University |
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Principal Investigator |
山田 義雄 早稲田大学, 理工学術院, 教授 (20111825)
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2016-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 自由境界問題 / 非線形拡散方程式 / 反応拡散方程式 / 漸近挙動 / 比較定理 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
生物の侵入・移動をモデルとする1次元自由境界問題において時間変数をt, 空間変数をx, 生物の個体数密度をuで表わす。生息領域の片側を固定境界x=0, 他方を自由境界x=h(t)とする．重要な課題は個体数や自由境界の動きを知ることである。本研究においてuは反応拡散方程式 u_t=u_{xx}+f(u) により記述され、h は境界条件h’(t)=-μu_x(t,h(t) によって定まるとする。自由境界が時間とともに無限に拡がり、生物が新領域で繁殖する下状態に対応する解を spreading解と呼ぶ。このような解についてhの拡大速度やuの形状について詳しい評価を求めたい。本年度は反応項 f(u) が双安定と呼ばれるとき、すなわちf（u)=0 が4個の平衡点 0, u_1,u_2,u_3 (0<u_1<u_2<u_3)を持ち、このうち u_1,u_3 が安定となる場合を考えた。 spreading解についてu_1に広義一様収束するsmall spreading解とu_３ に広義一様収束するbiｇ spreading 解に大別される。これらの現象が起こるとき hの速度やuの形状について詳細な評価を得られた。評価に当たっては各平衡点に対応するsemi-wave問題の解 (q(z),c) が重要な役割を担い、ｈ（ｔ）～ct+定数、u(t,x)～q(h(t)-x) の形で評価される。しかし、u_3に対するsemi-wave問題が解を持たない場合もあり、その場合は問題u_1に対する解 (q_1(z),c_1) がhの評価に関わる。詳しく述べると、 u_1とu_3を結ぶ進行波解、および u_1_と0を結ぶ semi-wave q_1によってu_1, u_3の二段丘をもつ伝播型テラス解と呼ばれる関数が生成され、時間とともに u(t,x) はこの関数に一様収束することを示すことに成功した。
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