Symmetry and deformation of spherical tiling

2021 Fiscal Year Final Research Report

• Project/Area Number: 16K05247
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• Allocation Type: Multi-year Fund
• Section: 一般
• Research Field: Foundations of mathematics/Applied mathematics
• Research Institution: Tohoku University
• Principal Investigator: Akama Yohji 東北大学, 理学研究科, 准教授 (30272454)
• Project Period (FY): 2016-04-01 – 2022-03-31
• Keywords: タイリング / 合同な多角形 / 曲率 / グラフ

Outline of Final Research Achievements

By Euler's law, the spherical tilings by congruent polygons are only by triangles, quadrangles, and pentagons. In particular, a spherical tiling by congruent equilateral pentagons is exactly a pentagonal subdivision of a tiling, an earthmap tiling or a flip modification of an earthmap tiling. Moreover, we introduce a new technique similar to Cauchy's arm lemma for polyhedra. Because the area of the sphere is finite and lines on the sphere necessarily intersect, the research on the classification of the spherical tilings by congruent polygons is of recent, and combinatorially hard. As an abstract approach to this problem, we find out not only the symmetry of the tilings, but also the combinatorial curvature of graph which corresponds to Gauss curvature of surfaces.

Free Research Field

応用数学

Academic Significance and Societal Importance of the Research Achievements

球面は平面の幾何的直観を相対化するが、球面は曲がりの度合いが正の一定である一方で平面のそれは0の一定であり、球面と平面のタイリング(重なりなく隙間なく埋めつくすこと)は、装飾として供され、数学的物理的関連が認められつつある。合同な多角形による平面タイリングの分類は伝統があり困難であるが、球面は面積が有限で球面では異なる「直線」は交差するため、合同な多角形による球面タイリングの分類研究は新しく、組み合わせ論的に困難であるが、そこで、計算機の援用の必要性を我々は示唆した。この問題への抽象的接近法として、曲面のガウス曲率に対応する、グラフの組み合わせ曲率の理論を見出した。