2017 Fiscal Year Research-status Report
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16K05248
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| Research Institution | Ibaraki University |
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Principal Investigator |
加納 幹雄 茨城大学, 工学部, 名誉教授 (20099823)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 多色点集合 / 平衡分割 / ハムサンドイッチ定理 / ハンバーグ定理 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
赤点と青点が交互に現れる交互道の被覆問題を3色点が現れる道に拡張した。平面上に与えられた3色の点集合R,B,Gを、各凸集合には点が2k＋1個含まれ、各色の点はk＋1個以下となるような平面の凸分割を考えて、昨年度それに関する研究の取り掛かりを報告した。この問題がk≧5では成り立たないこと、またk＝1,2では成り立つことを示した。現在k=3の場合を研究中である。
この他、a,b,cを正の整数とするとき、直線上に赤点が2a個、青点が2b個、緑点が2c個あるとする。すると全体では2(a+b+c)個の点が直線上にある。これを左側と右側にそれぞれa+b+c個の点があるように2つの部分に分ける。すると一般には左側と右側では各色の点の個数が異なる。このとき、左側にある連続する点集合Xと右側にある連続する点集合Yが存在し、Xの点集合とYの点集合を入れ替えると左右の側にはそれぞれ赤点がa個、青点がb個、緑点がc個あるようにできることを示した。この証明にはmoment curveと空間におけるハムサンドイッチ定理を用いた。また、4色以上の点集合への拡張もした。
3次元空間の一般の位置に4 色の点が合わせて3n 個与えられている。各色の点はｎ個以下である。すると空間をある平面で2 つの半空間に分け、各半空間には3p 個と3q 個 (p+q=n, p,q≧n/4)の点があり、各色の点はそれぞれp個以下か、またはq 個以下となるようにできる。これをHamburger 定理と命名して発表した。
その他、課題に関連するグラフ理論のついて、辺着されたグラフに虹的全域木（すべての辺の色が異なる全域木）が存在するための十分条件などの研究も行った。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究実績の欄で述べたように、昨年度の報告書で未解決だった平面上の３色点の平衡分割予想について、成果があり大きく前進した。また。予想2についてロシアの研究者によって解決されたことがわかった。予想１と予想3について、また関連する離散幾何の問題、グラフ理論の問題について研究を行っており、おおむね順調に研究は進んでいる。
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| Strategy for Future Research Activity |
現在名誉教授なので海外の研究者との共同研究がしやすい状況にある。そのため海外の研究者との共同研究も積極的に進めている。5月から6月にかけて1か月スペインのアルカラ大学とバルセロナ自治大学へ共同研究に行く予定である。アラカラ大学には予想３について共同研究をした研究者がおり、また、バルセロナ自治大学では2つの国際的workshopに参加する予定であり、他の共同研究者の参加もある。ここで研究課題を含め、多色点集合の離散幾何に関する研究をしたい。
研究実績のところで述べた未解決なk=3の場合を証明し、論文としてまとめたい。また、関連するグラフ理論についてもいくつかの研究をしており、それらを発表できる成果にまとめたい。
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| Causes of Carryover |
少額の差が出たが、これは30年度に旅費として使いたい。 平成30年度は4月にインドへ行き、国際会議で招待講演を行う。5月～6月にはスペインへ行き、アルカラ大学でオルデン先生他と研究課題のついて共同研究を行う。またバルセロナ自治大学で開催される2つのworkshop に参加し、課題に関する離散幾何について共同研究を行う。7月には中国西安へ行き、国際workshpで基調講演をおこない、またグラフ理論について共同研究を行う。そのほかいくつかの国内研究集会への参加・発表し、また他大学の研究者と共同研究を行うことを考えている。パソコンに関するいくつかの必要物品の購入も予定している。
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| Remarks |
いくつかの出版された論文を投稿原稿状態で掲示している
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