2016 Fiscal Year Research-status Report
閉曲面上のグラフの極大1-交差埋め込みに関する研究
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16K05250
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| Research Institution | Niigata University |
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Principal Investigator |
鈴木 有祐 新潟大学, 自然科学系, 准教授 (10390402)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 1-平面グラフ / 完全グラフ / グラフマイナー / 三角形分割 / 再埋蔵 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
最適1-平面グラフのマイナーに関する問題に対しては，これまでの議論を整理し結果をまとめた論文「K_7-minors in optimal 1-planar graphs」が，離散数学の専門誌であるDiscrete Mathematicsに掲載された．その過程で論文の査読者から「単純ではない最適1-平面グラフに対して同様の結果が得られるのか？」という質問を受けた．（最適1-平面グラフは3-連結四角形分割の各面に交差辺を加えたものと理解できるが，上記のグラフのクラスは，この“3-連結”という条件を排除したものになっている．）現在，このグラフのクラスに対してK_7-マイナーの有無を調査している段階である．
最適1-平面グラフの再埋蔵，特に「最適1-平面グラフ(最適1-交差埋め込み)は三角形分割として他の閉曲面に埋め込み可能か？」という問題に関しては，得られた結果を2本の論文にまとめ現在投稿中である．2016年8月に行われた「The Fifth Asian Conference on Nonlinear Analysis and Optimization」において，これらの結果をまとめた内容の講演を行った．
また，10月に行われた「日本オペレーションズ・リサーチ学会 最適化の基盤とフロンティア研究部会」において“1-平面グラフの辺数の上界・下界”に関する結果をまとめた内容の講演を行った．その準備段階において関連する論文を注意深く読むと，現在最良だと思われている極大1-平面グラフの辺数の下界（Franz他）を与える結果の証明に誤りがあることが分かった．（結果として，研究代表者がEades氏等の研究グループと共に与えた値が現在最良の値である．）今後も議論を継続し，この下界を実際の値に近づけていきたい．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
「研究実績の概要」にも記述した通り，“K_7-マイナーをもたない最適1-平面グラフの特徴付け”に関する論文は予想していたより早く専門誌に掲載された．この事実は，当該論文のテーマやその証明方法等に一定の価値があることを意味している．上記の結果が多くの専門家の目に触れ，近辺の議論が活発に行われることを期待している．最適1-平面グラフの再埋蔵に関する結果も同様で，結果をまとめる作業は当初予想していたより早く進めることができている．研究計画には，多くの問題を記入してあるが，タイミング的に手のついていないものに関しては，時期を見て研究を進めていきたいと考えている．
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| Strategy for Future Research Activity |
最適1-平面グラフのマイナーに関する問題に対しては，新たに浮上した問題（「研究実績の概要」に記入）の解決に向けて研究を継続していく．最適1-交差埋め込みの再埋蔵に関する研究については，これまでの結果を一般の閉曲面上の理論に拡張するべく研究を進めていく．その際，共同研究者である野口氏（東京電機大学）との議論の場を多く持つことで研究の速度がさらに上がるものと考えている．極大1-平面グラフの辺数に関する研究に対しては，さらに最新の結果が得られていないか，国内外の研究動向を注視していく．
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