2017 Fiscal Year Research-status Report
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16K05251
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| Research Institution | Japan Advanced Institute of Science and Technology |
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Principal Investigator |
石原 哉 北陸先端科学技術大学院大学, 先端科学技術研究科, 教授 (10211046)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 構成的数学 / 逆数学 / 層モデル |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究は、１．構成的逆数学における未解決問題の解決と新たな公理の発見、２．層モデルを用いた公理や定理の体系的な分離手法の構築、３．分離手法などメタ理論の構成的数学の枠組みでの展開を目的とする。これにより、論理的公理・関数の存在公理および新たに発見された公理のなす束構造の解明と解析が大きく進展し、様々な公理を層モデルの性質により特徴づけ解析することにより、研究をより高次な視点から深化させ、メタ理論を構成的数学の枠組みで展開し実証することにより、研究に数学的・技術的な貢献以上の意味・意義を与える。
平成２９年度は、前年度のケーススタディで得られた成果を深化させるため、特に１.に焦点を当て研究を行った。前年度に２進展開定理と中間値の定理と同値になる２分木に関する弱いケーニッヒの補題に対する条件（各レベル高々２つのノード、凸性）を解明した。また、それらの条件付き弱いケーニッヒの補題は、制限されたド・モルガンの法則と対応する条件付き可算選言選択公理と論理的に同値であることを明らかにした。平成２９年度は、それらの条件付き可算選言選択公理のみに論理的に同値になる弱いケーニッヒの補題の解明を試みた。その結果、いずれの場合もそれぞれの条件付き可算選言選択公理のみに弱いケーニッヒの補題が同値になるための、２分木に対する統一的な条件を解明した。
２および３に関しては、引き続き位相空間上および完備ハイティング代数上の層を用いたモデルの調査、および層モデルを構成的（かつ可術的）集合論CZFで展開するための調査を行った。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究目的の１．構成的逆数学における未解決問題の解決と新たな公理の発見では、制限されたド・モルガンの法則を除いた弱いケーニッヒの補題に対する条件が解明され、その条件の下では２進展開定理および中間値の定理に対応する弱いケーニッヒの補題と前年度解明した条件付き可算選言選択公理が同値になることを示した。２．層モデルを用いた公理や定理の体系的な分離手法の構築、および３．分離手法などメタ理論の構成的数学の枠組みでの展開では引き続き調査にとどまった。
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| Strategy for Future Research Activity |
研究目的の１．構成的逆数学における未解決問題の解決と新たな公理の発見では、古典的逆数学の基礎理論RCA0上で証明できる２進展開定理と中間値の定理はほぼ解明が終わり、同様にRCA0上で証明できるベールの定理に対して解析に着手している。今後はベールの定理の解析を本学的に進め、その構成的逆数学での強さを解明する。２．層モデルを用いた公理や定理の体系的な分離手法の構築では、いまだ文献調査にとどまっているので今後具体的なモデルの構成方法を１.で解明した公理に適用する。３．分離手法などのメタ理論の構成的数学の枠組みでの展開も文献調査にとどまっているので、位相空間や完備ハイティング代数とFormal Topologyの関係を精査する。
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| Causes of Carryover |
（理由）当初予定していた海外での共同研究が予定通り実施できなかったため海外旅費を使用しなかった。海外共同研究者が来日して共同研究を実施し研究はおおむね順調に進んでいる。
（使用計画）次年度では数名の海外研究者を訪問し共同研究あるいは研究に対する助言を受ける。そのための派遣旅費として使用する予定である。
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