2020 Fiscal Year Research-status Report
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16K05252
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| Research Institution | Shizuoka University |
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Principal Investigator |
鈴木 信行 静岡大学, 理学部, 教授 (60216421)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 非古典論理 / 述語論理 / 構成性 / disjunction property / existence property |
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| Outline of Annual Research Achievements |
構成性(constructivity)は、直観主義論理の依って立つ基本的要請と考えられ、構成的数学(constryctive mathematics)の研究における基本的概念でもある。このような背景から、歴史的にも数理論理学の重要な主題の1つである。これと関連の深い選言特性(disjunction property, DPと略記)と存在特性(existence property, 同じくEPと略記)の2つの性質について、中間述語論理と直観主義的(構成的)数学の2つの分野でこれまで独立していた流れを融合的に進展させることを期待して本研究の構想を得た。
そこで、本研究では、構成性(特にDPとEP)について理解を深め、直観主義的(構成的)数学の知見を吸収して、中間述語論理の研究を大きく前進させることをめざす。
本年度は、直観主義的算術(Heyting arithmetic)とその拡張の証明論的および意味論的議論の関係を議論し、直観主義論理あるいは中間述語論理上に展開される算術のモデルを生成することに集中した。こうした昨年度までの共同研究の成果を基に、中間命題論理のKripkeモデルから中間述語論理のKripkeモデルを経由して直観主義的算術(Heyting arithmetic)のモデルを構築する手法をひとつ見出した。ここでは、算術的完全性定理(arithmetical completeness theorem)を利用できることが解った。この進展において、昨年度までに進めてきた研究協力者の布陣が奏功し強力に作用したといえる。こうした成果を研究協力者とともに共著論文にまとめることができた。現在投稿中である（査読待ち）。
また、日本数学会 秋季総合分科会(数学基礎論および歴史分科会)で特別講演を行った。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
本年度は、中間述語論理での構成性の議論を通じて、構成的（直観主義的）数学での自然数論（証明論とKripke意味論)に関して具体的な成果を得た。昨年度から研究協力者の強力で柔軟な布陣を築くことができている。特に、中間命題論理のKripkeモデルから、直観主義的算術(Heyting arithmetic)のモデルを構築する手法について、共著論文をまとめることができた。研究協力者の石原哉氏・横山啓太氏（北陸先端科学技術大学院大学）、根元多佳子氏（広島工業大学）、藤原誠氏（明治大学）の協力を得て議論が進み、共同研究論文の投稿にまで進んだ。
当初の計画に従い、本年度でも研究協力者と膝づめで討論することを予定していたが、新型コロナウイルス感染症の流行により、実際に会合することが不可能であった。そのため、インターネットを活用したリモートのディスカッションに終始し、もうすこし進歩したいところであった。また、外国出張することができず、国際会議での成果発表ができなかった。
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| Strategy for Future Research Activity |
前年度までの成果に基づき、構成的数学における技術や成果を中間述語論理(特にKripke 型意味論の文脈) に持ち込むことにより、新しい展開をめざす。特に、古典的自然数論の非標準モデルとKripke意味論の融合モデル構築における問題点の理解が具体的に進んでいるので、これによって、次なる発展を目指す。そのため、研究協力者を含むディスカッションを行う予定である。さらに、この成果を取りまとめる論文の作成を行う。
新型コロナウイルス感染症の流行により、膝詰めのディスカッションが難しい状況なので、インターネットをより活用して補う予定である。
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| Causes of Carryover |
新型コロナウイルス感染症による出張困難な事態により、研究協力者との連絡がリモートに限られてしまい、特に外国における国際会議出席と討論や研究レビューに支障をきたした。取りまとめとなる論文の完成が遅れている。
インターネットをより活用して、ディスカッションの不足を補う予定である。そのために、コンピュータやリモート会議用機器を購入する。
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