2018 Fiscal Year Research-status Report
情報科学におけるエントロピー及び不等式に関する基礎研究
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16K05257
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| Research Institution | Nihon University |
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Principal Investigator |
古市 茂 日本大学, 文理学部, 教授 (50299327)
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2016-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | Jensenの不等式 / Hermite-Hadamardの不等式 / Youngの不等式 / Golden-Thompson不等式 / 作用素平均不等式 / Tsallis相対作用素エントロピー / 古田のパラメトリック相対作用素エントロピー / Choi-Davis-Jensen型の不等式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
凸化可能な関数に対してJensenの不等式を証明した．これは凸関数に関するJensenの不等式の一般化である．2回微分可能な実数値関数と自己共役作用素，単位正値線形写像に対するJensenの不等式のいくつかの補足的不等式を証明した．作用素平均不等式に対する逆不等式に対する新しい不等式を証明した．Golden-Thompson不等式の補足的不等式の逆不等式を証明した．この結果により瀬尾の不等式を改善した．凸解析における凡関数的手法を用いて，古田のパラメトリック相対作用素エントロピーに関する新たな不等式を示した．Hermite-Hadamardの不等式を用いてTsallis相対作用素エントロピーのより精密な見積りを行った.その過程でTsallis相対作用素エントロピーの別の上界・下界を導いた．また，Tsallis相対作用素エントロピーと古田のパラメトリック相対作用素エントロピーの積分公式による関係式を発見した．これにより両者間に存在する幾つかの不等式を導いた．凸性を仮定しないで，Choi-Davis-Jensen型の不等式を導出した．正値線形作用素を含むTsallis相対作用素エントロピーの逆不等式を確立した．加えて，各パラメータに対して安藤の逆不等式を示した．差型および商型の両方において，作用素に対するYoungの逆不等式を示した．応用の１つとしてHeron平均に関する結果を得た.通常の区間を超えた範囲における重みのパラメータに対してYoungの不等式とHeinzの不等式の更なる改善を行った．Dragomirによって示されたYoungの不等式の改善と逆不等式の定数には指数関数が使われているが，それを一般化し更にタイトな定数を得た.作用素に対するKantorovich型の不等式を証明した．この結果は既出の結果の改善するものとなった．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
研究課題の基礎研究の部分については想定を超える成果が出せた思う．出版論文数を見て頂ければ分かるように想起していた幾つかの成果が一気に日の目を見た感がある．共著者のアイデアやアクティビティの高さに依るところも大きいが，研究代表者によってこれまでに蓄積されてきた，不等式の証明に関するテクニックと行列解析およびエントロピー周りの知識が功を奏したと自負している．応用部分についてであるが，もちろん，工業的な分野などへの直接的なものはないが，数理に関する応用としては，それぞれの論文で示されており，本研究課題の目的を十分に果たしつつあると思っている．
具体的には，2011年から共同研究をしているMinculeteとの成果として，相対作用素エントロピーに関する論文が出版された．また，2016年から共同研究をしているKaleibaryとの共著論文が２篇出版された．Golden-Thompsonタイプの不等式とAczel不等式の逆作用素不等式である．さらに，2017年に共著論文を出版したRaissouliと新たに，古田のパラメトリック相対作用素エントロピーに関する論文を出版した． その他の多くは，2016年から最も多くの共同研究をしているMoradiとの共著論文および時々，サポートに入ってもらうSababhehとの共著論文が多くを占めている．加えて，凸関数に関わる成果についてはこの分野で長年研究されているJadrankaの協力も大きい．
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| Strategy for Future Research Activity |
今後の研究は主に以下のテーマを考えているが，複数名の共著者が存在するので，彼ら／彼女らとの共同研究の進捗状況により多少の変化はあると想定している．まずは，ここ数年で30篇近い論文を出版したことも有り，Moradiと共著の英文の専門書の執筆に掛かる予定である．それにより，これまでの成果を整理し当該分野の研究者たちに我々の成果を分かりやすく伝えていく目的がある．
一方で，新しい研究に関しては，現在，Minculeteと古典的なエントロピー関連の研究を進めている．これは，2012年にMinculeteとMitroiとで行った研究の発展的内容となっている．特に，2種類の2パラメータ拡張されたエントロピーに関する性質を調べることを目的としている．また，Raissouliとは，凸解析における凡関数的手法により2つの凸凡関数に対してHeron平均とHeinz平均を導入して様々な不等式を導出しようという試みである．この手法で得られる結果は作用素不等式の一般化である．これがうまく行けば，様々な作用素平均に関して得られてきたこれまでの成果を凸凡関数を用いて，より一般的な形で得るということも考える予定である．MoradiとはKaramata型の不等式とそのエントロピーへの応用に関してある程度の進捗が見られ年末のシンポジウムで発表したのでこの内容をもう少し煮詰めて論文誌に掲載することを目指す．さらに，Moradi-Sababhehとは凸関数に関する不等式を改善する積分についての研究を開始する予定である．自分自身の単独での研究計画も考えており，商型で改善するYoungの不等式に現れる有名な定数，Kantorovich定数やSpecht比に関する性質の基礎的研究を行う予定である．
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| Causes of Carryover |
投稿中の論文のArticle publishing charge（論文投稿料）が500ユーロで，もしその結果が年度内に出れば，残額をそれに充てようと考えていたが，未だに査読結果が確定しないために，年度内での支払いがなくなり約7万円ほどの残金となった．
残金の使用計画としては，本年度中に査読結果が出ると思われるので，論文投稿料に充てる予定である．
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