2016 Fiscal Year Research-status Report
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16K05260
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| Research Institution | Shonan Institute of Technology |
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Principal Investigator |
中上川 友樹 湘南工科大学, 工学部, 准教授 (20386890)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
佐久間 雅 山形大学, 地域教育文化学部, 准教授 (60323458)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | グラフパズル / グラフの自己同型群 / グラフの石交換群 / コードダイアグラム / インターレースグラフ / Tutte多項式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
1. Graph Motion on Graphs
有限無向グラフGを盤グラフかつ交換可能性グラフとするパズル(G)を考える。Gの頂点集合からそれ自身への全単射写像fを、このパズル(G)の配置と呼ぶ。そのときの対応y=f(x)を、盤の頂点xを石yが占めていることとみなす。配置fと盤の２つの頂点u,vについて，uvとf(u)f(v)のいずれもがGの辺になっているとき、石f(u)と石f(v)を交換して新たな配置をつくる操作をパズル(G)の手という。配置fから有限回の手により配置gが得られるとき、ｆとgは同値であるという。恒等写像1と同値なGの自己同型全体はGの自己同型群Aut(G)の部分群となる。これをGの石交換群Peb(G)と呼ぶ。グラフGの性質とPeb(G)の性質の関係について研究を進めており、現在までに次のことを明らかにしている。
・与えられた群を石交換群とするグラフの存在・グラフの内周と石の移動可能性の関係・グラフの直積と石移動群の関係・木の２乗の石交換群の性質・サイクルの２乗の石交換群の性質
2. コードダイアグラムの展開数
円における弦の集合で、どの２つの弦もその端点を共有しないとき、その集合をコードダイアグラムと呼ぶ。位数 n のコードダイアグラム E のすべての弦が互いに交差しているとき、E を n-交差と呼ぶ。コードダイアグラム E が 2-交差 S を含むとする。このとき、Sを解消するようにE を新たな２つのコードダイアグラムに置き換えることをEの展開と呼ぶ。どのようなコードダイアグラムE についても、それを出発点として展開を繰り返し、非交差コードダイアグラムまで展開し尽くすことができる．このとき、最終的に生成される非交差コードダイアグラム全体の重複集合の位数は，展開の仕方に依らず E のみで決まる。それをEの展開数と呼び、これに関するいくつかの結果を得ている。
・完全グラフの展開数の母関数・完全多部グラフの展開数の母関数・コードダイアグラムとTutte多項式との関係
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
1. Graph Motion on Graphs
石交換パズルの代数的な側面については、研究実績の概要で述べた結果を得ているが論文としては未発表である。結果についてまとめ論文として発表する必要がある。
石交換パズルの極値問題としての側面については、研究が停滞している。まずは、代数的な側面についての結果をまとめる方向で進める。
2. コードダイアグラムの展開数
第１の結果として，完全２部コードダイアグラムE m,nの場合に研究し、その展開数f (E m,n) の指数型母関数 F(x,y) が 1 / (cosh x cosh y - sinh x - sinh y) であることを証明した。この結果は2016年7月にスペインのバルセロナ工科大学における研究集会Discrete Mathematics Days - JMDA16 で口頭発表した。与えられたコードダイアグラム E に対して、それに付随するインターレースグラフをGEと書く。また、与えられたグラフ G に対して、その Tutte 多項式を t(G; x,y)と書く。第２の結果として，一般に Eの展開数 f(E) は t(GE; 2,-1) で与えられることを証明した。この結果は2016年12月に龍谷大学における応用数学合同研究集会で口頭発表した。この問題は関連する問題が多く、今後の発展性を含んでいるが、まずは、現在までに得られていることをまとめ、国際会議にて口頭発表する予定である。
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| Strategy for Future Research Activity |
1. Graph Motion on Graphs
まず，グラフの石交換群について現在までに得られている結果について再確認し，論文としてまとめ，学会・研究集会で発表し，また，しかるべき論文誌に投稿する。また，任意の連結グラフGについて，Gの２乗の石交換群がGの自己同型群を含むか、という問題について検討する。
次に，グラフG,Hについてのパズル(G,H)について，各パズルのfeasibilityについての[必要/十分]条件を検討する。特に，一方のグラフGが完全多部グラフ，パス，またはサイクルの場合は，(G,H)がfeasibleになるための必要十分条件は得られているが，それ以外の場合には，よくわかっていない。これら以外のグラフについて検討する。
2. コードダイアグラムの展開数
展開数とTutte 多項式の関係については既に明らかにしたところであり，国際会議で発表し，また，しかるべき論文誌に投稿する。しかしながら，これはコードダイアグラムの展開に関わる研究の端緒と考えられる。今後検討すべき課題として，例えば，展開数とInterlace多項式との関係，展開される非交差コードダイアグラムの分布，コードダイアグラムから幾何グラフへの拡張、など多くの興味深い問題が挙げられる。
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| Causes of Carryover |
残額が６千円程度と少額であるため、年度内に使い切るよりも次年度に繰り越した方が効率的に使用できるため。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
次年度助成金と会わせて書籍購入費用などに充てるなどして、効果的に使用する。
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