2016 Fiscal Year Research-status Report
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16K05267
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| Research Institution | The University of Electro-Communications |
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Principal Investigator |
緒方 秀教 電気通信大学, 大学院情報理工学研究科, 教授 (50242037)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 佐藤超函数 / 数値積分 / 複素関数論 / Hadamardの有限部分 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究課題は佐藤超函数論に基づく数値解析を目的とする。佐藤超函数論は複素関数論に基づく一般化関数論であり、極・不連続・デルタ関数といった特異性をもつ関数を複素解析関数で表すものである。
平成28年度は、佐藤超函数論に基づく数値積分法の構築を課題とした。実解析関数の積分は佐藤超函数論を用いれば複素周回積分を用いて表すことができ、この複素積分を数値的に計算することにより求める積分の近似値が得られる。これまでの研究で有限区間積分に対する計算法はすでに確立されていたが、当年度はこれを拡張し、半無限区間積分およびHadamardの有限部分積分に対する数値計算法を構築した。
半無限区間（正の実軸とする）積分に対する数値計算法は基本的には有限区間積分の場合と同様で、佐藤超函数論により求める積分を正の実軸の周りを周回する積分路上の複素積分に変換し、それを台形則で近似計算する。ただし、無限区間積分の場合それを変換した複素積分も無限積分となるので、DE公式の手法を併用した。この数値積分法は、理論解析により分点数に対し指数関数的に収束し、数値実験によりとくに端点特異性をもつ積分に対して有効であることが示された。
Hadamardの有限部分積分とは、例えばf(x)/x（f(x)はx=0で有限値を取る関数）を区間(0,a)で積分すると発散するが、発散する項を取り除いた有限値の部分のことを指す。これは元来極限操作を用いて定義されるので数値計算が面倒であるが、佐藤超函数論を用いると通常の積分と同様の扱いが可能となるので、本研究の数値積分法が簡単に応用できる。そして、実際に数値積分法を構成し、数値実験によりその有効性を確かめた。
当年度の研究成果は、2件の国際会議講演（そのうち1件は招待講演）、1件の国内会議講演で発表し、論文を執筆・投稿した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本研究は佐藤超函数論に基づく数値解析を目的とし、当初各年度において次の数値計算に対し佐藤超函数論に基づく数値計算法を構築するという研究計画を立てた。平成28年度：無限区間積分及び特異積分の計算。平成29年度：Laplace変換・Fourier変換などの積分変換。平成30年度：積分方程式の数値解法。
これに対し、平成28年度は研究実績の概要に記した通り、無限区間積分およびHadamardの有限部分積分に対し佐藤超函数論に基づく数値計算法を構築し、その有効性を理論・実験両面から示した。そして、その研究結果を国内外の研究集会で発表し、論文を執筆・投稿した。そのことから、現時点においてはおおむね当初の研究計画通り研究が進捗していると判断する。
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| Strategy for Future Research Activity |
当初の研究計画では、平成29年度に積分変換、平成30年度に積分方程式に対し、佐藤超函数論に基づく数値解法を構築することになっていた。ところが、この順序を入れ替えて、平成29年度に積分方程式、平成30年度に積分変換を扱うことに、研究計画を変更する。それは、最近、関連研究成果を参考にしつつ積分方程式の数値解法がつくれないか試みたところ、これまでの数値積分の研究成果を応用することにより積分方程式が解ける見込みが立ち、簡単な数値実験を行ってみて研究遂行の目処が立ったことによる。
積分方程式の数値解法は具体的には、第2種FredholmおよびVolterra積分方程式に対し、佐藤超函数論による数値積分法を用いて積分方程式を連立一次方程式に離散化し、それを解くことにより近似解を構成する。数値積分では、端点特異性の強い積分に対し佐藤超函数論による方法は特に有効であることが示されたが、積分方程式の場合も同じ観点から数値解法を検証する。すなわち、積分作用素の端点特異性が強い場合に、本方法はどれだけ有効性を発揮できるかに焦点を当てる。
今わかっている問題点として、積分方程式を離散化した連立一次方程式が悪条件であることがある。これに対しては、多倍長計算を用いる、あるいは、Tikhonovの正則化を用いるといった対応策を考えている。
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Research Products
(4 results)
