2016 Fiscal Year Research-status Report
保存量をもつ反応拡散方程式とその摂動系－シンプレクティック構造と生物学への応用
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16K05273
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| Research Institution | Kobe University |
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Principal Investigator |
桑村 雅隆 神戸大学, 人間発達環境学研究科, 教授 (30270333)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 反応拡散方程式 / limit cycle / 拡散不安定化 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
保存量をもつ２成分の反応拡散方程式系を摂動することにより、空間一様な時間周期解（limit cycle）が拡散により不安定化し、安定な空間非一様な時間周期解に遷移するという現象を数値分岐解析とslow-fast系の理論によって調べた。これは、空間一様な平衡解が拡散により不安定化し、安定な空間非一様な平衡解に遷移する現象（チューリング不安定性）に対応しているものである。過去の研究では、具体的な直接計算が可能な複素ギンツブルグ－ランダウ方程式の空間一様な時間周期解の場合と、漸近解析による摂動計算が可能なホップ分岐によって生じた小振幅の空間一様な時間周期解の場合しか扱われていなかった。本研究では、過去のものとは全く異なる視点により、大振幅の空間一様な時間周期解が拡散によって不安定化する現象を調べた。その方法は次のようにまとめられる。まず、２成分の常微分方程式系で、成分の和が保存されるものを考える。次に、その常微分方程式系に摂動項を加えて、slow-fast系の理論にもとづいて時間周期解（limit cycle）を構成する。さらに、摂動された常微分方程式系に拡散項を加えて２成分の反応拡散方程式系をつくる。この反応拡散方程式系において、空間一様な前述の時間周期解が、拡散項の影響により不安定化することを数値分岐解析と数値シミュレーションによって示す。この結果は、日本数理生物学会主催の国際会議JSMB2016において口頭発表され、American Institute of Physics発行のChaosの第27号に掲載された。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
保存量をもつ２成分の反応拡散方程式系を摂動することにより、空間一様な時間周期解（limit cycle）が拡散により不安定化し、安定な空間非一様な時間周期解に遷移するという現象を数値分岐解析とslow-fast系の理論によって、（数学的に厳密ではないが）応用数学のレベルでは理解できた。また、その結果を国際会議および学術雑誌で発表することができた。
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| Strategy for Future Research Activity |
保存量をもつ２成分の反応拡散方程式系を摂動することにより、反応拡散方程式によってモデル化される様々な現象を理解することができる。空間一様な時間周期解の拡散による不安定化はそのような現象の一例である。今後は、細胞の極性化現象として解釈できるパルスの挙動について調べることを当面の目標としたい。
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| Causes of Carryover |
平成２９年度の１０月２５日から１０月２７日まで、京都大学数理解析研究所で開催される予定の研究集会「非線形現象と反応拡散方程式」の研究代表者になっている。この研究集会に参加する予定の研究者の旅費の支援のため、平成２８年度は助成金の使用を控えて約３０万円ほど残して、平成２９年度に使用することにした。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
平成２９年度の１０月２５日から１０月２７日まで、京都大学数理解析研究所で開催される予定の研究集会「非線形現象と反応拡散方程式」の研究代表者になっている。この研究集会に参加する予定の研究者の旅費の支援に使用することを計画している。
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