2017 Fiscal Year Research-status Report
非線形偏微分方程式の特異極限問題およびポテンシャルと結合した界面運動の研究
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16K05275
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| Research Institution | Okayama University |
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Principal Investigator |
大下 承民 岡山大学, 自然科学研究科, 准教授 (70421998)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 非線形問題 / 変分問題 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の目的は，非線形偏微分方程式およびエネルギー汎関数に対する勾配流方程式の特異極限として現れる界面運動方程式の時間発展の構造，細胞の生命現象を記述する数理モデルや非局所項をもつ反応拡散系の特異極限問題およびその極限として現れる界面方程式の解の構造，非線形楕円型偏微分方程式の特異極限問題に現れる解の種々の集中現象を，勾配流に対する変分原理(レイリー原理)，リャプノフ・シュミットの縮約法，線形化安定性解析，分岐理論，中心多様体への縮約理論，均質化の手法，漸近展開法などの手法，さらにハイブリッドなあるいは新しい数学的手法の開発を通して解明することである。
結晶粒ドメインの成長やゼブラフィッシュの皮膚の模様のように物質や生物などの自然界には様々なパターンが溢れている。二元合金における相分離現象は自由エネルギー最小の原理という変分原理で 記述され，その時間発展を記述するモデルは勾配流の構造をもっている。この二元合金のように二種類の物質の単なる混合系では，マクロスケールの相分離(領域の分離)がみられる。一方，その二つの物質が連結しているときには，ミクロ相分離と呼ばれるずっと小さなスケールでの周期パターンが形成されやすい。例えば，ジブロックコポリマーでは体積分率の違いにより，様々な形態のパターンが観測される。 本年度はポテンシャルと結合した界面方程式に対する全空間での定常問題，および時間発展問題に対する線形安定性を考察した。パラメーターを変化させたときの線形安定性の変化と分岐現象の解析が今後の課題である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
ミクロ相分離現象を記述する自由エネルギーの変分問題において，中心多様体への縮約法により解の存在を考えるためには，曲率項のテイラー展開の高次の項までの計算が必要であるが，その計算がかなり煩雑になり解の構成はとてもチャレンジングな問題であることがわかった。
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| Strategy for Future Research Activity |
ミクロ相分離を記述する変分問題では，小さなスケールでの周期パターンが形成されやすい。平均密度の違いにより，様々な形態のパ ターンが出現する。この ようなミクロ相分離を記述するエネルギー汎関数として，高階のソボレフノルムのような様々な非局所エネルギーの場合を研究し，ミクロスケールの周期的パターン形成の機構を解明していく。 また，曲率を含まない空間１次元の問題を考察して，中心多様体への縮約や分岐現象の解析を進めていく。
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| Causes of Carryover |
海外出張等がなかったため，予定より使用額が少なくなった。次年度は台湾で行われるAIMS学会などの出張で使用の予定である。
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