2018 Fiscal Year Research-status Report
非線形偏微分方程式の特異極限問題およびポテンシャルと結合した界面運動の研究
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16K05275
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| Research Institution | Okayama University |
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Principal Investigator |
大下 承民 岡山大学, 自然科学研究科, 准教授 (70421998)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 非線形偏微分方程式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の目的は，活性因子・抑制因子型反応拡散系における特異極限問題やその極限問題として現れる界面運動を解析すること，および，生命現象を記述する数理モデルを適当な条件下で縮約して得られるグローバルカップリング項を含む単独偏微分方程式や界面方程式について，モデリングの専門家と共同で一般の非局所項を含む場合について考察し，非線形数理解析を行うことである。さらに，非線形楕円型偏微分方程式の特異極限問題に対して，変分法，リャプノフ・シュミットの縮約法あるいはそれらを組み合わせること(変分法とリャプノフ・シュミットの縮約法の融合)により， 解の集中現象を解明していくことである。
結晶粒ドメインの成長やゼブラフィッシュの皮膚の模様のように物質や生物などの自然界には様々なパターンが溢れている。二元合金における相分離現象は自由エネルギー最小の原理という変分原理で記述され，その時間発展を記述するモデルは勾配流の構造をもっている。この二元合金のように二種類の物質の単なる混合系では，マクロスケールの相分離(領域の分離)がみられる。一方，その二つの物質が連結しているときには，ミクロ相分離と呼ばれるずっと小さなスケールでの周期パターンが形成されやすい。例えば，ジブロックコポリマーでは体積分率の違いにより，様々な形態のパターンが観測される。 勾配流方程式の特異極限問題に対応する勾配流方程式に対して，それに対する変分原理(レイリー原理)を用いることで，勾配流と変分原理を結びつけることができる。 本年度は，このような勾配流に対する変分原理に均質化の手法を用いて，高次元において微小粒子の大きさと空間位置に関する発展方程式の厳密導出をした。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
ミクロ相分離現象を記述する自由エネルギーの変分問題において，中心多様体への縮約法により解の存在を考えるためには，曲率項のテイラー展開の高次の項までの計算が必要であるが，その計算がかなり煩雑になり解の構成はとてもチャレンジングな問題であることがわかった。まずは空間１次元の問題から考察しなければならないようである。
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| Strategy for Future Research Activity |
ミクロ相分離を記述する変分問題では，小さなスケールでの周期パターンが形成されやすい。平均密度の違いにより，様々な形態のパターンが出現する。このようなミクロ相分離を記述するエネルギー汎関数として，高階のソボレフノルムのような様々な非局所エネルギーの場合を研究し，ミクロスケールの周期的パターン形成の機構を解明していく。
また，曲率を含まない空間１次元の問題を考察して，中心多様体への縮約や分岐現象の解析を進めていく。高次元の場合にも，平衡解の多重存在問題を考察していく。
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| Causes of Carryover |
海外出張等が少なかったため，予定より使用額が少なくなった。次年度はイギリスなどへの出張で使用の予定である。
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