2019 Fiscal Year Annual Research Report
Singular limit problem for nonlinear PDE and interface motion coupled with potentials
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16K05275
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| Research Institution | Okayama University |
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Principal Investigator |
大下 承民 岡山大学, 自然科学研究科, 准教授 (70421998)
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2016-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 非線形偏微分方程式 / 相分離現象 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の目的は，活性因子・抑制因子型反応拡散系における特異極限問題やその極限問題として現れる界面運動など，非線形偏微分方程式における種々の特異摂動問題を，変分法，リャ プノフ・シュミットの縮約法，分岐理論，中心多様体縮約，漸近展開法などの手法により解明するこ とである。さらに，ハイブリッドなあるいは新しい数学的手法の開発を通して，材料科学・生命科 学への応用を目指していくことである。
活性因子・抑制因子型反応拡散系において，双安定な非線形項をもつ場合，「相分離」パターンが現れることが多く，極限では，遷移層の幅は 0 に近づき，一般に「界面」と 呼ばれる領域内部の不連続面が生じる。同じように，二元合金のような二種類の物質の単なる混合系では，マクロスケールの相分離(領域の分離)がみられる。一方，その二つの物質が連結しているときには，ミクロ相分離と呼ばれるずっと小さなスケールで の周期パターンが形成されやすい。太田・川崎は，ミクロ相分離を記述するエネルギー汎関数を導入した。これは二成分が連結されたことによるある種の弾性エネルギー(非局所エネルギーと呼ぶ)がカーン・ヒリアード汎関数に加えれたものである。体積分率の違いにより，様々な形態のパターンが観測される。 二元合金における相分離現象は自由エネルギー最小の原理という変分原理で記述され，その時間発展を記述するモデルは勾配流の構造をもっている。勾配流方程式の特異極限問題に対応する勾配流方程式に対して，それに対する変分原理(レイリー原理)を用いることで，勾配流と変分原理を結びつけることができる。 本年度は，太田・川崎エネルギー汎関数の H^{－1} 内積に関する勾配流方程式を考えた場合の時間発展の研究を行い，均質化の手法による平均場モデルの導出をした。
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