2018 Fiscal Year Research-status Report
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16K05278
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
川崎 英文 九州大学, 数理学研究院, 教授 (90161306)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 離散最適化 / 非線形計画法 / 離散凸解析 / 不動点定理 / ゲーム理論 / ナッシュ均衡 / スペルナーの補題 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
最適化理論とゲーム理論の分野において，不動点定理と凸解析を軸に連続構造と離散構造の研究をおこなった．本研究の目的は，離散非線形計画法を構築し，併せて離散不動点定理とゲーム理論へのその応用を研究することであり，平成30年度は以下の研究成果を得た．
(1) 離散的な縮小写像に対する不動点定理を用いて完全情報展開形ゲームが純戦略均衡をもつことを2011年に発表したが，懸案であった離散的な局所縮小写像に対する Richard-Shih-Dong の離散不動点定理のゲーム理論への応用をおこなうことに成功した．具体的には，n人戦略形ゲームの最適応答写像が局所縮小であるための必要十分条件を与えることができた．さらに，純戦略均衡をもつ展開形ゲームの新たなクラスを与えることに成功した．本研究成果の一部を投稿していた数理解析研究所講究録が公開された．
(2) 前年度にBrouwerの不動点定理と同値であるKKM補題を用いて，ねじり折りの平坦可折性の特徴づけ定理を与えたが，そこでは制限的な仮定を設けていた．平成30年度にその仮定を取り除き，定理を完成させた．この結果を国内学会と国際シンポジウムで発表し，英文誌に投稿した．
(3) Brouwerの不動点定理と同値であるSpernerの補題について，方向保存条件を付加することにより，どの完全ラベル小単体もその頂点のひとつが不動点になるようなラベル付けが可能であることを証明した．この結果を国内研究集会と国内学会で講演し，英文誌に投稿した．
(4) 上述の研究成果を基に「均衡と極値の離散と連続構造」を執筆している．現在の総頁数は380である．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
最適化理論とゲーム理論の分野において，不動点定理と凸解析を軸に連続構造と離散構造の研究をおこなっている．本研究の目的は，離散非線形計画法の構築及び，離散不動点定理とゲーム理論へのその応用を研究することであり，平成30年度は以下の研究成果を得た．
(1) 離散的な縮小写像に対する不動点定理を用いて完全情報展開形ゲームが純戦略均衡をもつことを2011年に発表したが，その研究を推し進め，離散的な局所縮小写像に対する Richard-Shih-Dong の離散不動点定理のゲーム理論への応用をおこなった．これにより，研究代表者の十年来の懸案が解決され，n人戦略形ゲームの最適応答写像が局所縮小であるための必要十分条件を与えることができた．さらに，純戦略均衡をもつ展開形ゲームの新しいクラスを与えることに成功した．本研究成果の一部を数理解析研究所講究録で発表した．
(2) Brouwerの不動点定理と同値であるKKM補題を用いて，ねじり折りの平坦可折性の特徴づけ定理の完成形を与えた．この結果を国内学会と国際シンポジウムで発表し，英文誌に投稿した．国際シンポジウムでの発表は招待講演である．
(3) Brouwerの不動点定理と同値であるSpernerの補題について，方向保存条件を付加することにより，どの完全ラベル小単体もその頂点のひとつが不動点になるようなラベル付けが可能であることを証明した．この結果を国内研究集会と国内学会で講演し，英文誌に投稿した．
(4) 専門書「均衡と極値の離散と連続構造」に50ページの原稿を加筆した．
以上のように，研究成果を国内外のシンポジウムや学会において招待講演等で発表し，さらに英文誌に投稿するなど，研究はおおむね順調に進展している．
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| Strategy for Future Research Activity |
研究はおおむね順調に進展しており，引き続き研究計画に沿って以下の課題を中心に研究を進める．
(1) Brouwerの不動点定理より強力なLefchetzの不動点定理のゲーム理論への応用を図る．
(2) Farkasの二者択一の定理の離散化を図る．
(3) 引き続き，専門書「均衡と極値の離散と連続構造」の執筆をおこなう．
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| Causes of Carryover |
平成30年9月に名古屋大学で開催された日本応用数理学会2018年度年会の初日に発表をおこなったが，非常に強い台風21号が名古屋市を直撃しため，出張予定を切り上げることになり次年度使用額が生じた．研究は順調に進展しているため，5月に台湾で開催されるフォーラムで招待講演を行うための旅費として使用する予定である．
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