2017 Fiscal Year Research-status Report
連続体における特異点集合の形状最適化問題の理論と応用
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16K05285
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| Research Institution | Hiroshima Kokusai Gakuin University |
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Principal Investigator |
大塚 厚二 広島国際学院大学, 情報学部, 教授 (30141683)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
高石 武史 広島国際学院大学, 工学部, 教授 (00268666)
畔上 秀幸 名古屋大学, 情報学研究科, 教授 (70175876)
木村 正人 金沢大学, 数物科学系, 教授 (70263358)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 偏微分方程式境界値問題 / 変分法 / 特異点 / 形状最適化 / 有限要素解析 / 破壊力学 / 界面問題 / 数理モデル |
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| Outline of Annual Research Achievements |
偏微分方程式境界値問題での解が特異性を持つ点の集合（特異点集合）の形状最適化問題を研究している。点pの任意近傍U(p)において解が滑らかさを持たないとき，点pを「特異点」と言う。
特異点集合として，(1) 境界，(2) 混合境界値問題では異なる境界条件の接合部，(3) 亀裂，(4) 方程式の係数が不連続な場合の不連続面（界面），(5) 空孔，(6) 介在物(inclusion)，(7) 複合材料などを対象としている。なお，数学的には(6)と(7)は(4)に帰着でき，(5)は内部境界と考えられる。エネルギー最小化、平均コンプライアンス最小化問題、２乗平均誤差最小化問題、固有値問題といった諸問題における特異点集合最適化について研究している。なお、破壊力学はGriffithのエネルギー平衡理論に基づくエネルギー最小化問題とも考えられる。
形状感度解析は申請者による一般J積分を用い、「最適形状探索」として畔上教授(名古屋大学)によるH1勾配法，数値計算法として有限要素法を用いて最適形状を数値計算できる所まで研究が進んでいる。一般J積分を使うことで特異点の感度を分離でき、数値計算結果の理論解析を可能としている。
本科研費による研究実績：(1)従来の一般Ｊ積分理論の整備、(2)固有値問題への適用、(3)ストークス問題など鞍点として解が得られる場合への適用。許容関数が写像で引き戻せない場合について、ラグランジェ未定係数法を使った解に対するエネルギー形状感度を一般Ｊ積分を拡張することで、従来と同様な結果を得られることがKarl-Franzens大学のKovtunenko教授との共同研究でわかった。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
一般J積分が２次元破壊問題で提唱されていたJ積分を拡張してきた関係で、「一般Ｊ積分≒エネルギー形状感度」を研究での根幹としてきた。そこでは、木村教授との共同研究によるパラメータ付汎関数の最小値に関するFrechet微分で物質微分を含む項が消えることを使っていた。そのため、固有値の形状感度解析においてもエネルギーとの関係を探っていたが、研究はデッドロックに乗り上げていた。研究の突破口となったのは、固有値の形状感度解析が物質微分を使わない形に表現できること、その結果を記述する一般Ｊ積分が造れることが分かったので、形状最適化の数値計算までの道が開けた。
また、ストークス問題での形状感度解析に関するKarl-Franzens大学のKovtunenko教授との共同研究では、ラグランジュの未定乗数法での鞍点に対する形状感度解析では物質微分が消えることが分かり、ストークス問題に対応する一般J積分を造ることが可能である。共同研究は投稿中だが、査読者から鞍点の感度解析に関するCorrea-Seegerの定理を紹介され、鞍点の感度解析においても物質微分を使わずに感度解析が可能であることが分かったので対象問題を広げられる。
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| Strategy for Future Research Activity |
申請者が３次元破壊問題において1981年に提案した一般Ｊ積分を、Hadamardの変分公式に適用する中で1985年に一般Ｊ積分を形状感度解析に適用できるように拡張した。その後、界面問題への適用拡大、そして畔上教授の最適形状探索法、有限要素計算ツールFreeFem++による数値計算により破壊・形状最適化・界面の挙動といった現象を統一的に扱う「特異点の形状最適化」といった分野の成立を2010年ごろから提唱している。
「特異点の形状最適化」は、エネルギーの形状感度解析を弱解の範囲で一般Ｊ積分として表現することから始まる。最近は、固有値の形状感度解析を一般Ｊ積分で表現できることも分かった。弱解の範囲で考えるとき、物質微分が現れない形状感度解析が一般Ｊ積分と密接な関係がある。その意味で、パラメータ付汎関数の最小値に関する木村教授との共同研究、固有値の形状感度、Kovtunenko教授によるラグランジュ未定係数法による鞍点の形状感度、そして鞍点の感度解析に関するCorrea-Seegerの定理と一般Ｊ積分に繋がる多数の理論が見えてきた。形状探索法としては畔上法があるので、有限要素法による数値計算までの道筋が開けている。
退職を考えて科研の申請はしないが、「特異点の形状最適化」については研究を続けたい。また、海外の研究者との共同研究も考えている。それから、パリ第６大学のHecht教授を招聘してプロジェクトFreeFem++の日本でのユーザーグループ代表を若手研究者に継承させたい。
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| Causes of Carryover |
平成30年度に海外研究者を招聘するため残した。
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