2016 Fiscal Year Research-status Report
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16K05332
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| Research Institution | Setsunan University |
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Principal Investigator |
安井 幸則 摂南大学, 理工学部, 教授 (30191117)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | キリング対称性 / ヤング図 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
高階のキリングテンソル場は時空の隠れた対称性を記述するテンソル場である．特に１階のキリングテンソル場は，キリングベクトル場であり，時空計量の対称性を表す．また，近年の研究から時空上の場の方程式が変数分離することの背景には，2階のキリングテンソル場が存在することが明らかになった．
本研究では「延長」とよばれる操作によってキリングテンソル場をベクトル束上の平行な切断として幾何学的に表現できることを示した．キリング方程式の未知変数とその微分からジェット束とよばれるベクトル束を構成する．ベクトル束のファイバーは一般線形群の表現空間であり，ヤング図形を使って既約な表現に分解される．さらにベクトル束には
レビ・チビタ接続から自然な線形接続が誘導され（キリング接続），この接続に関して平行な切断がキリングテンソル場と１対１に対応する．平行切断の次元はベクトル束のランクが上限を与える．定曲率空間上のキリングテンソル場の場合，キリング接続の曲率がゼロとなり，その切断の次元は上限値と一致する．一般の時空ではキリング曲率は消えない．このことが平行切断の存在に非自明な可積分条件を与える．この可積分条件は，階数１,2のキリングテンソル場に対してはすでに知られている結果である．本研究の成果は任意の階数のキリングテンソル場に対して可積分条件を陽に書き下したことである．さらに，この可積分条件に長方形のヤング図で記述される新しい対称性を発見した．この対称性は階数1,2,3のときまでは確認できたが，4以上の場合，現時点では予想にすぎない．
この対称性の存在証明は次年度の課題として残された．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
キリングテンソル場を平行切断として捕らえることにより, テンソル場の可積分条件を陽に書き下すことに成功した．また、その可積分条件に新たな対称性が現れ，その起源を明らかにするという課題が残された．可積分条件の解析はおおむね順調に進み，その成果を物理学会で発表した．しかしながら，論文発表にまでは到達することが出来なかった．
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| Strategy for Future Research Activity |
キリングテンソル場の可積分条件の解析を継続し，長方形のヤング図で記述される新しい対称性の起源を明らかにすることを第一目標とする．
この課題を推進する方策：1) 可積分条件を調べることは，キリング曲率およびその微分で生成されるホロノミー群を調べることと等価な問題である．したがって，この対称性とホロノミー群の関連を明瞭にすることがポイントとなる．2)~いろいろな具体例で可積分条件を陽に書き下す．特に，4次元のタイプＤ型の時空を解析することは，ブラックホール時空を含むため物理的にも重要であると考える．3)~テンソルの階数が上がると可積分条件は複雑になり，具体的な時空で解析的に調べることは困難である．そこで，コンピュータを使って数値的に可積分条件を解析する．4)~ペンローズの導入したツイスタースピナーも，キリングテンソル場と同様，スピナー束上の平行切断として捕らえることが可能である．実際，ツイスタースピナーはキリングテンソル場のある種のルートとみなすこともできる．ツイスタースピナーの可積分条件に対しても長方形ヤング図の対称性が現れるのか，もしそうであるなら，この対称性は想像以上に普遍的なものかもしれない．
第二の目標は，アインシュタイン計量の具体的な構成である．時空にキリングテンソル場が存在するとき，その対称性を反映する良い座標が時空に導入できる．通常は階数１のキリングベクトル場を使うが，本研究では高階のキリングテンソル場に相応しい座標を利用して新しいアインシュタイン計量を書くことである．特に，超重力理論のBPS解を記述するカラビ・ヤウ計量，佐々木・アインシュタイン計量，超ケーラー計量をターゲットとする．
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Research Products
(3 results)
