2017 Fiscal Year Research-status Report
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16K05332
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| Research Institution | Setsunan University |
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Principal Investigator |
安井 幸則 摂南大学, 理工学部, 教授 (30191117)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | キリングテンソル / 平行切断 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
高階のキリングテンソルは時空の隠れた対称性を記述するテンソルである．特に１階のキリングテンソルは，キリングベクトルであり，時空計量の対称性を表す．また，スタッケル(1893)，レビ・チビタ(1904), ベネンチ(1980)らの研究により時空上の測地線を記述するハミルトン・ヤコビ方程式の変数分離性の背景には，2階のキリングテンソルが存在することが明らかになった．しかしながら階数3以上のキリングテンソルに対する理解は階数1,2の場合に比べかなり乏しい．
本研究では一般の階数のキリングテンソルを扱うことが可能な新しい幾何学的な手法を開発した．そのキーとなるものが「延長」とよばれる操作であり，キリングテンソルはベクトル束上の平行な切断として定式化される．我々の手法の第一ステップはキリング方程式の未知変数とその微分からジェット束とよばれるベクトル束を構成することである．ベクトル束のファイバーは一般線形群の表現空間であり，ヤング図形を使って既約な表現に分解される．さらにベクトル束にはレビ・チビタ接続とリーマン曲率から自然な線形接続が誘導され（キリング接続），この接続に関して平行な切断がキリングテンソル場と１対１に対応する．平行切断の次元はベクトル束のランクが上限を与える．定曲率空間上のキリングテンソル場の場合，キリング接続の曲率がゼロとなり，その切断の次元は上限値と一致する．一般の時空ではキリング曲率は消えない．このことが平行切断の障害となり非自明な可積分条件を与える．この可積分条件は，階数１,2のキリングテンソル場に対してはすでに知られている結果である．本研究の成果は任意の階数のキリングテンソル場に対して，ヤング図形を使って可積分条件を陽に書き下したことである．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
キリングテンソル場をベクトル束上の平行切断として捕らえることにより方程式の可積分条件をヤング図形を使って陽に書き下すことに成功した．その結果を重力のClassical and Quantum Gravityで発表した．
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| Strategy for Future Research Activity |
キリングテンソルの可積分条件の解析を継続する．特にキリングテンソルを使ってカー時空上のマックスウェル方程式や重力摂動の方程式の可積分性の起源を明らかにすることを目標とする．この課題を推進するために，カー時空上のマックスウェル方程式や重力摂動の方程式が，ゲージ化されたラプラシアンをハミルトニアンとする力学系の方程式と等価であることに着目する．チューコルスキー方程式として知られているが，このような見方は1996年のベンの論文において初めて議論されたものである．ここでは，アイゼンハートリフトにより力学系を測地線方程式のハミルトン系として定式化する．スタッケル(1893)，レビ・チビタ(1904), ベネンチ(1980)らの変数分離の理論を使うことにより，キリングテンソルが自然な形で導入される．ごく最近，高次元カー時空のマックスウェル方程式の変数分離性がルーニンによって示された．４次元カー時空のマックスウェル方程式の変数分離性が高次元に拡張できるか，という長年の未解決問題が肯定的に解決されたことになる．ここでもキリングテンソルは重要な役割を果たしている．キリングテンソと時空の隠れた対称性の間にはまだまだ興味深い問題が残されているように思われる．
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