2017 Fiscal Year Research-status Report
複雑ネットワークにおけるフラクタル性発現機構の解明と自己組織化臨界性
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16K05466
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| Research Institution | Hokkaido University |
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Principal Investigator |
矢久保 考介 北海道大学, 工学研究院, 教授 (40200480)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
小布施 秀明 北海道大学, 工学研究院, 助教 (50415121)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | フラクタル / 臨界現象 / 複雑ネットワーク / スモールワールド / 自己組織化 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
平成２９年度は、平成２８年度に構築したモデルによって自己組織的に形成されるネットワークのスケールフリー性を調べるため、マスター方程式に基づく解析を行った。このマスター方程式は、時刻tにおいて新規ノードが参入した直後のネットワークG(t)、およびノードの新規参入後に起こるカスケード故障直後のネットワークG'(t)のそれぞれにおいて、任意に選ばれたノードの次数がkであり、耐性パラメータ値がmである確率に対する連立漸化式として表される。この連立漸化式を数値的に解くことにより、ネットワーク内のノード数の時間発展N(t)を調べた。その結果、シミュレーションで得られたN(t)と非常に良く一致した。次に、このマスター方程式を用いて、長時間後に形成されるネットワークのスケールフリー性を特徴付ける指数γを計算した。解析の結果、指数γは新規ノードが有する耐性パラメータ値の分布を特徴付ける指数μと一致することが明らかになった。このことは、ノードの耐性パラメータがどのような値であっても、ノードの寿命はほぼ一定であることを意味している。また、本モデルのSOCダイナミクスにおける臨界点直上でのネットワークがフラクタル性を有することをCompact-Box-Burning法によるフラクタル解析で明らかにした。一般にフラクタル性を有するネットワークは負の隣接次数相関を示すことが良く知られているが、平成２９年度の研究においては、高次数ノードの間に最短経路長の意味で長距離に渡る"斥力"的な長距離次数相関が生ずることを明らかにした。さらに、自己組織化されたネットワークの機能と構造の関係を明らかにするため、フラクタル・スケールフリー・ネットワーク上の量子ウォークの挙動とフラクタル次元およびスケールフリー指数との関係に関する研究を行った。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
本課題研究の目的は、ユークリッド距離が定義されない複雑ネットワークにおいて、トポロジカルな意味でのフラクタル性がどのようなメカニズムにより発現するかを明らかにすることであった。現在までの研究により、多くの複雑ネットワークが有するスケールフリー性とフラクタル性を合わせ持つネットワークが自己組織的に発現するようなSOCモデルを構築することができた。これにより、本研究の目的を達成するための基礎が形成されたことになる。フラクタル構造が過負荷故障カスケードのパーコレーション転移に伴って発現するという事実は、海岸線や河川の分岐構造のようなユークリッド空間に埋め込まれた通常のフラクタル系の発現機構と本質的に同じであり、フラクタル構造形成が臨界現象に伴って起こるという普遍性を示している。また本研究では、モデルパラメータを変えることによってSOCの普遍クラスを変えることができることを示した。特に、スケールフリー性を特徴付ける指数γの値は耐性パラメータの分布関数の指数μと全く同じであることをマスター方程式の解析により明らかにした。これによりネットワークのフラクタル次元やγの値を制御することが可能となり、形成条件を変えることで機能的に優れた所望の性質を持つネットワークを自己組織的に形成させ得る。さらに、本モデルにより形成されたネットワークの長距離次数相関を調べることで、ネットワークがフラクタル性を示すときには高次数ノード同士が反発し合うような構造になることを示した。この事実は、本モデルによるネットワークだけでなく、WWWのような現実のフラクタル複雑ネットワークにも見られる一般的な性質であることも発見した。以上の研究内容から、当初の目的が達成されたのみならず、申請時には予定していなかったマスター方程式による解析も行われたため、予定以上の進展が見られたと考えている。
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| Strategy for Future Research Activity |
平成３０年度は、前年度に調べた複雑ネットワークのフラクタル性と長距離次数相関の関係をより詳細に解析する。そのため、まずネットワークにおける長距離次数相関の一般論を展開する。これまで精力的に研究されてきた隣接次数相関は、エッジ両端のノードの次数がkとk'である同時確率P(k,k')によって完全に記述される。この考えを拡張すると、長距離次数相関は任意抽出された2つのノードの次数がkとk'であり、両ノードの最短経路長がlである同時確率P(k,k',l)によって表すことができる。次数kのノードに隣接するノードの次数がk'である条件付き確率P(k'|k)によっても隣接次数相関が表されるように、長距離次数相関の一般的性質は条件付き確率によっても記述可能であると考えられる。しかしながら、隣接次数相関とは異なり、長距離次数相関を表す条件付き確率は複数存在する。今年度の研究では、独立な条件付き確率を全て抽出し、同時確率P(k,k',l)との関係を明らかにする。その上で、長距離次数相関が無いネットワークにおいてこれらの確率分布関数がどのような関数形を取るのかを解析的に調べる。無限に大きなネットワークの場合、P(k,k',l)は有限のlに対して常にゼロとなるため意味をなさない。したがって、この解析を行う際には有限ネットワークを対象としなければならないことに注意する。長距離次数相関の一般論を構築した後、これらの確率分布を用いることで、平均l次隣接次数や長距離assortativityのような次数相関の特徴を理解するのに有用な指標を提案する。特に、フラクタル・ネットワークに見られるハブ・ノード間の長距離に渡る反発傾向の強さを表す指標を導入する。この指標を多くの現実ネットワークや数理モデルによるネットワークに対して計算することで、複雑ネットワークのフラクタル性とハブ間の長距離反発の関係を明らかにする。
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[Journal Article] Observation of topological edge states in parity-time-symmetric quantum walks2017
Author(s)
L. Xiao, X. Zhan, Z. H. Bian, K. K. Wang, X. Zhang, X. P. Wang, J. Li, K. Mochizuki, D. Kim, N. Kawakami, W. Yi, H. Obuse, B. C. Sanders, P. Xue
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Journal Title
Nature Physics
Volume: 13
Pages: 1117-1123
DOI
Peer Reviewed / Int'l Joint Research
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