2016 Fiscal Year Research-status Report
位相振動子系の同期非同期転移と古典XYモデルの相転移の対応関係の解明と統一理論
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16K05474
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| Research Institution | Nara Women's University |
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Principal Investigator |
上江洌 達也 奈良女子大学, 自然科学系, 教授 (10160160)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
清川 修二 奈良女子大学, 自然科学系, 准教授 (20177950)
木本 智幸 大分工業高等専門学校, 電気電子工学科, 教授 (30259973)
雑賀 洋平 群馬工業高等専門学校, 電子情報工学科, 教授 (40280432)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 古典ＸＹモデル / 臨界現象 / ＳＫモデル / スピングラス / 位相振動子系 / 蔵本モデル / 同期現象 / 対応関係 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
１ ２次元トーラス上のメキシカンハット型相互作用：方程式の対応関係が存在するメキシカンハット型相互作用について、2次元トーラス上の系を扱った。17個の実秩序変数を有する場合を扱い、それの従う連立積分方程式の解を数値的に求めた。また、シミュレーションを行い、両系における安定解を調べた。その結果、両系で同じ種類の安定解が複数個存在する事、また、トーラスの２つの独立な軸の周りの回転数も対応する事を明らかにし、２次元系での対応関係の存在を示した。
２ 外場への応答と臨界現象：いくつかの相互作用について位相振動子系で外場への応答が調べられ、臨界指数とそれらの間の関係式が知られている。あるクラスの相互作用系で我々の理論を外場のある場合に拡張して両系の統一方程式を導き、ＸＹモデルと位相振動子系の臨界指数とそれらの間の関係式にも対応関係がある事を示した。
３ ランダムでフラストレーションのある相互作用：相互作用がガウス分布から生成される場合のＸＹモデル、ＳＫモデルは、レプリカ法により解析されており、低温にすると常磁性相からスピングラス相へ相転移する。一方、同じ相互作用を有する位相振動子系では、自然振動数分布がガウス型の場合、その標準偏差を小さくすると、局所場の分布のピークが０から有限の値に変化する相転移が起こり、実質振動数がほぼ等しい振動子の集団では、相対位相が拡散するquasi entrainment (QE)という特異な状態となっている事が知られている。我々は、数値計算により、両系の相転移点が対応関係で予想される値と一致する事、局所場の確率密度の振舞が類似している事、更に、位相振動子系でスピングラスオーダーパラメータを数値的に計算する方法を考案し、ＸＹモデルの理論曲線とほぼ一致する事を見出した。秩序変数の方程式が知られていない系における対応関係の存在の発見は、大きな意義があると思われる。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
平成28年度の実施テーマは３つであった。すなわち、ＸＹモデルと位相振動子系において、
（１）方程式に対応があり、到達距離無限大でランダムネスが無い2次元トーラス上のメキシカンハット型相互作用における対応関係、（２）方程式に対応があり、到達距離無限大で、ランダムネスが無い場合およびバイナリー型のランダムな相互作用の場合についての外場への応答および臨界現象、（３）方程式の対応が知られていない、到達距離無限大でランダムな相互作用を持つ物理系における対応関係
である。以下、各々の状況を記す。
（１）計画では、10個の実数の秩序変数を扱う予定であったが、対称性などを考慮すると、より一般的な、17個の実秩序変数を扱う方が適切であると判断し、その場合を数値的および理論的に解析した。導入した高速計算機により、17変数の連立積分方程式の数値計算や計算機シミュレーションも問題なく遂行でき、両系の複数個の解の対応関係を、数値的に明らかできた。更に、いくつかの解においては、それらの従う方程式を統一的に記述することができ、解の１対１対応も示すことができた。（２）我々の既存の理論を外場が存在する場合に拡張し、外場存在下での統一方程式を導出できたため、それを解析することにより、外場への応答と臨界現象の対応、臨界指数間の関係式の対応を示すことができた。（３）局所場の分布の対応関係は、予備的計算で得られていたため問題なかったが、位相振動子系では、スピングラスオーダーパラメータqの従う方程式が知られておらず、また、初期条件を勝手に複数個選んで作ったレプリカでは、低温でｑが１に収束しないとう困難に直面した。しかしながら、温度０でのＸＹモデルと一様な自然振動数を持つ位相振動子系が同一の系であることを積極的に利用し、この対応が成立するレプリカのみを採用することでこの困難を克服し、ｑの対応も示すことができた。
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| Strategy for Future Research Activity |
平成28年度に実施した、到達距離無限大でランダムな相互作用、ＳＫ型相互作用、の研究を更に発展させる。具体的には、両系において、時間相関関数や素子ごとの位相の時間変化を数値的に解析し、より詳細に対応関係を調べるとともに、振動子系でのｑの方程式の導出を試みる。一方、平成29年度以降の実施予定テーマは４つであり、それらについて、以下で推進方策を記す。
（１）1次元トーラス上の長距離相互作用でランダムネスが無い場合の対応関係。位相振動子系の発展方程式が記憶を表す積分核をもつ積分方程式でかける場合を扱う。ＸＹモデルの対応するハミルトニアンも直ちに得られる。平均場描像が適用できるため、理論的な解析も既存の理論で可能である。秩序変数は関数であるため、関数積分方程式を解く必要があるため、高速計算機を用いて数値計算を実行する。
（２）、（３）1次元トーラス上の、ランダムネスが無い、メキシカンハット型相互作用と長距離相互作用の場合の外場への応答および臨界現象。前者については、外場在りの場合にも方程式の対応関係が導けるために、技術的な困難はない。後者に対しても、既存の理論で、外場在りの場合の方程式が導出できると考えられるので、原理的な困難はない。
（４）1次元トーラス上の短距離相互作用でランダムネスが無い場合の対応関係。具体的には、最近接相互作用を扱う。1次元系なので、ＸＹモデルでは、信念伝搬法によって理論式を導出できる。その数値計算により、解を求める。一方、位相振動子系では、発展方程式を直接数値積分して解を求め、ＸＹモデルの解との比較を行う。さらに、位相振動子系で、ＸＹモデルの方程式に対応する方程式の導出を試みる。
以上の研究結果に基づき、対応関係の成立条件を明らかにし、方程式が対応する場合、既に得られている統一方程式を更に一般化して、両系を統一的に記述する理論の構築を試みる。
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| Causes of Carryover |
旅費に使用したが、10万円より安価であったため。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
研究データ保存のためのＵＳＢメモリを購入予定。
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Research Products
(2 results)
