2017 Fiscal Year Research-status Report
位相振動子系の同期非同期転移と古典XYモデルの相転移の対応関係の解明と統一理論
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16K05474
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| Research Institution | Nara Women's University |
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Principal Investigator |
上江洌 達也 奈良女子大学, 自然科学系, 教授 (10160160)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
清川 修二 奈良女子大学, 自然科学系, 教授 (20177950)
木本 智幸 大分工業高等専門学校, その他部局等, 教授 (30259973)
雑賀 洋平 群馬工業高等専門学校, その他部局等, 准教授 (40280432)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 古典XYモデル / 臨界現象 / SKモデル / スピングラス / 位相振動子系 / 対応関係 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
（１）1次元トーラス上の長距離相互作用でランダムネスが無い場合の対応関係
指数的に減衰する相互作用を用いて解析した。オーダーパラメータを局所場（LF）とし、XYモデルではマルコフチェーンモンテカルロシミュレーション（MCMC）でLFの温度依存性を、位相振動子系では数値積分でLFの自然振動数の標準偏差（σ）依存性を調べた。、数値計算の結果はLFの大きさの素子依存性がないため、それを仮定して両系で理論的にLFの自己無撞着方程式を導出した。理論結果とシミュレーション結果は、非常によく一致した。また、この場合にも、以前に得られた対応関係が成立することを確認した。
（２）1次元トーラス上の短距離相互作用でランダムネスが無い場合の対応関係
最隣接相互作用を用い、自由境界条件と周期的境界条件で解析を行った。ＸＹモデルでは、信念伝搬法によって理論式を導出し、また、MCMC法で数値的にエネルギーの期待値を求めた。自由境界条件では厳密解があり、数値結果はそれと一致した。周期的境界条件の場合も、厳密解とほぼ一致した。一方、位相振動子系では、数値積分してエネルギーを計算し、殆ど一定となった。また、オーダーパラメータは、い次元系のため、有限温度で両系で０であった。次に、外場への応答を研究し、臨界指数δを両系で数値的に求め、誤差の範囲で一致するという結果を得た。さらに、全位相が揃った状態からの緩和過程を数値的に計算し、時間スケールを適切に選ぶことにより、緩和過程が一致することを確認した。
（３）到達距離無限大でランダムな相互作用、ＳＫ型相互作用、を有する系の対応関係（平成28年度からの継続課題）
局所磁場の自己無撞着方程式を、XYモデルの時には一般的に、位相振動子系では、同期解のみが存在する場合に導出した。その過程で、XYモデルと位相振動子系のハイブリッドモデルを用いて、位相の分布密度の対応関係を導出した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
以下のように、ほぼ順調に進展している。
（１）リング上の長距離相互作用でランダムネスが無い場合については、指数的に減衰する相互作用を用いて、局所場（LF）の従う方程式を求め対応関係を示した。また、理論結果を数値シミュレーションで確認した。
（２）リング上の短距離相互作用でランダムネスが無い場合については、最隣接相互作用において、自由及び周期的境界条件の場合を解析し、ほぼ同じ結果を得た。エネルギーは位相振動子系では自然振動数がランダムに分布するため０となり対応せず、オーダーパラメータは両系で０であり対応している。また、外場への応答は臨界指数δが誤差の範囲で一致し、時間スケールを適切に選ぶと緩和過程が一致する。
（３）ＳＫ型相互作用を持つ系については、位相振動子系では、スピングラスオーダーパラメータqの従う方程式が知られていないが、温度０でのＸＹモデルと一様な自然振動数を持つ位相振動子系が同一の系であることを利用し、この対応が成立するレプリカのみを採用することで、ｑの対応を示した。LFの自己無撞着方程式を、XYモデルでは一般的に、位相振動子系では同期解のみが存在する場合に導出した。その過程で、XYモデルと位相振動子系のハイブリッドモデルを用いて、位相の分布密度の対応関係を導出した。
（４）到達距離無限大でランダムネスが無い2次元トーラス上のメキシカンハット型相互作用については、17変数の連立積分方程式を数値解析し、両系の複数個の解の対応関係を明らかにした。更に、いくつかの解で、それらの従う方程式を統一的に記述し、解の１対１対応を示した。
（５）到達距離無限大でランダムネスが無い場合およびバイナリー型の相互作用の場合についての外場への応答および臨界現象については、外場が存在する場合に理論を拡張して統一方程式を導出した。また、外場への応答と臨界現象の対応、臨界指数間の関係式の対応を示した。
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| Strategy for Future Research Activity |
科研費申請時点で立案した課題のうち、研究が継続しているものと、まだ研究を行っていない、以下の3つについて研究を行う。
（１）SK型相互作用の系については、局所場（LF）の自己無撞着方程式については、XYモデルにおいて一般の場合に導出されている。一方、位相振動子系では同期解のみが存在する場合に導出されているので、非同期解も存在する場合について導出を行う。位相の分布密度の対応関係が得られているので、自己無撞着方程式の対応は明らかである。従って、自己無撞着方程式の結果と数値計算結果を比較する。これらが一致することが示せれば、両系での対応が示せたことになる。一方、スピングラスオーダーパラメータｑについては、XYモデルでは、独自に鞍点方程式を導き、オリジナルな結果と一致することが分かっている。一方、位相振動子系では、定義そのものがないため、平成28年度に定義を行い、シミュレーティドアニーリング（SA）と同様な手法で数値計算を行って、XYモデルの結果と対応することを示した。今後は、実質振動数分布G(ω)を計算する時間間隔をτとするとき、G(ω)のτ依存性を数値的に調べることにより、位相振動子系の時間発展の様子を解析する。これにより、同期、非同期振動子がｑにどのように寄与するのかについて、明らかにする。
（２）、（３）1次元トーラス上の、ランダムネスが無い、メキシカンハット型相互作用と長距離相互作用の場合の外場への応答および臨界現象については、前者について、外場在りの場合にも方程式の対応関係が導けるために、技術的な困難はない。後者に対しても、既存の理論で、外場在りの場合の方程式が導出できると考えられるので、原理的な困難はない。
以上の研究結果に基づき、対応関係の成立条件を明らかにし、方程式が対応する場合、既に得られている統一方程式を更に一般化して、両系を統一的に記述する理論の構築を目指す。
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| Causes of Carryover |
レター論文を投稿したが、レフェリーとのやり取りの結果、フルペーパーに変更した。追加の数値計算を遂行中のため、再投稿および論文出版が年度内にできなかったため。
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