2016 Fiscal Year Research-status Report
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16K06430
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| Research Institution | Meiji University |
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Principal Investigator |
遠藤 哲郎 明治大学, 理工学部, 専任教授 (60247145)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
高坂 拓司 大分大学, 工学部, 准教授 (80320034)
稲葉 直彦 明治大学, 研究・知財戦略機構, 研究推進員(客員研究員) (90213123)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 準周期振動 / アーノルド共鳴ウェブ / 区分定数回路 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
アーノルド共鳴ウェブは数学モデルである写像の解析によって明らかになった準周期振動の分岐の構造である。従来、2つの基本周波数成分からなる準周期振動はアーノルドタンと呼ばれる無限個の同期引き込み領域を呈するが、3つ以上の基本周波数成分を含む準周期振動は部分同期現象を発生し、その同期引き込み領域は蜘蛛の巣状に交錯する。これが、アーノルド共鳴ウェブである。
しかしながら、従来の研究においては、アーノルド共鳴ウェブの解析は写像に基づいて行われ、実際の電気回路から導かれるアーノルド共鳴ウェブの解析は、著しく精度の低いものばかりであった。その理由は、一般に非線形微分方程式の解析はルンゲ・クッタ法のような数値積分を使って行われるが、この場合、数値積分の量が膨大となることと数値誤差の累積という大きな2つの問題点があったためである。
これに対し、応募者らは、区分定数回路と呼ばれる著しく単純な回路を用いれば、写像のそれとほぼ同程度の計算量と精度でアーノルド共鳴ウェブの計算が行うことができることに気づいた。
当該年度は、ある3つの独立した周波数成分からなる準周期振動を呈する区分定数回路を設計し、その回路の解を求めるためのプログラムを作成した。また、アーノルド共鳴ウェブを図示するためにリアプノフ指数と呼ばれる特性乗数を計算する必要があるが、これを求めるための一般化されたアルゴリズムを作成した。また、回路実験を行い、3-トーラスが部分同期する様子を観察した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
当該年度の研究計画は、対象とする区分定数回路の解軌跡を求めるプログラムを作成すること、グラムシュミットの正規直交化アルゴリズムを用いてリアプノフ指数を求める手続きを作成すること、回路実験によって解の振る舞いを観察することであった。これらのプログラムは予定通り作成することができた。また、回路実験においては、ポアンカレ断面を導入すると、3つの基本的な周波数成分からなる準周期振動の場合には点列は断面状を覆い、2つの基本的な周波数成分からなる準周期振動に対しては、点列は閉曲線を構成することが確認された。
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| Strategy for Future Research Activity |
研究計画通り推進する予定である。上述の解軌跡を求めるプログラムを、リアプノフ指数を求めるプログラムと結合し、リアプノフダイアグラムを作成する。今年度は、リアプノフ指数を求めるに当たり、2つの10の-7乗離れた解軌跡の差を用いて、変分を近似し、リアプノフ指数を求める。適当な2-パラメータ平面上を縦横1,000×1,000のメッシュに区切り、各々の点でリアプノフ指数を計算する。2-トーラス、3-トーラスは各々最大リアプノフ指数のみが0である現象、最大リアプノフ指数と第2リアプノフ指数が0である現象を指すが、実際計算されたリアプノフ指数の絶対値が1/10,000 より小さい場合に0リアプノフ指数と見なして計算を行う。そして、アーノルド共鳴ウェブを呈する2-パラメータリアプノフダイアグラムを作成する。
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| Causes of Carryover |
年度末の出張により、残金が生じた。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
翌年度の調査出張旅費に利用する。
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