2016 Fiscal Year Research-status Report
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16K13741
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| Research Institution | Hokkaido University |
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Principal Investigator |
吉永 正彦 北海道大学, 理学研究院, 准教授 (90467647)
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2016-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | オイラー標数 / 組合せ論的相互律 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究では、数え上げ組合せ論の基本概念「数える」という行為を、より圏論的定式化に近い枠組みで扱うことを目標としている。2016年度は、前年度に本研究の準備段階で著した彩色多項式の関手化に関する論文原稿に対する査読者からのコメントに基づいて、定式化の再考、結果や証明の整理・単純化を検討した。また、連携研究者の長谷部高広氏、大学院生の宮谷俊典氏と共同で、組合せ論的相互律のオイラー標数化の研究を行った。
「有限集合の位数（要素数）は、有限集合の圏のGrothendieck環の元とみなすことができる」というアイデアは古典的である。この際に「負の数」をどのように解釈するか、ということについても多くの研究がある。その一つは「半代数的集合のオイラー標数」の加法性に基づいて、負のオイラー標数をもつ半代数的集合を「負の集合」とみなすといものである。この「負の集合」の概念を使って、数え上げ組合せ論の既存の結果を幾何学的に定式化する研究を連携研究者の長谷部高広氏との共同研究によりすすめた。特に半順序集合から全順序集合への単調増加写像を数える「順序多項式」の相互律という現象をオイラー標数のレベルで定式化・証明した。そのために我々は「半代数的半順序集合」という概念を導入した。我々の相互律は、有限順序集合から、半代数的半順序集合への順序写像全体のパラメータ空間のオイラー標数に関する相互律として定式化できる。古典的な相互律でも、単調増加写像のターゲットを有限全順序集合から有限半順序集合に弱めることは自然な問題であったが、うまくいかなかった。本研究により、有限半順序集合の「-1」倍が有限半順序集合には収まらないことが本質的な理由であることも明らかになった。
順序集合の相互律以外にも多数の組合せ論的相互律が知られており、大学院生の宮谷俊典氏を加えて、グラフの流れ多項式の相互律のオイラー標数版を研究した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本研究の出発点となったグラフの彩色多項式の関手化に関する論文原稿に対して、査読者の（肯定的な）コメントが返ってきており、議論の整理単純化を図った。長谷部氏との共同研究により、順序多項式およびグラフの彩色多項式に関する相互律のオイラー標数化を行った。この結果については、国内外で発表を行い、特異点論、実代数幾何等の研究者からコメントや今後の発展の方向性の示唆を受けた。また、大学院生の宮谷俊典氏を加えて、数年前に示された、Breuer-Sanyalによる、有向グラフの流れ多項式の相互律がオイラー標数レベルで成立することを検証した。
以上のように、研究そのものの進展と研究発表、それに基づいて様々な分野の研究者との議論によるフィードバックがあり、本研究活動全般で順調であったと考えている。
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| Strategy for Future Research Activity |
これまで同様に組合せ論的相互律に対して、対応する半代数的集合を構成し、そのオイラー標数の一致という形での研究を行う一方、さらに幾何学的な考察をすすめ、ベッチ数などより精密な不変量が一致するかどうかを問うのが自然な問題だからである。ただしこれまでの研究により、通常の（ホモトピー不変な）特異ホモロジーではうまくいかないことがこれまでの研究から分かっており、Borel-Mooreホモロジーを使う必要がある。ここで現れる空間が局所コンパクトであるという技術的な仮定が必要になるのだが、勝手な半代数的順序集合を考えていると、容易に局所コンパクトでない空間が現れることも分かるので、まずは局所コンパクト空間だけが現れる、というのがどの程度強い制限であるのかを分析し、その上で局所コンパクト空間のBorel-Mooreホモロジーのレベルでの相互律を確立したい。さらに一段上の主張として、ホモロジーを取るのではなく、アーベル群のなす圏の導来圏の中でBorel-Moore複体がシフトを除いて同型である、という形で相互律を定式化したい。11月にフランスで講演した際に、我々の半順序集合の -1 倍の定義と、位相空間の suspension との類似を指摘されている。必要であれば、様々な分野の研究者と協力して、組合せ論的相互律の幾何学的な設定で理解したい。
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| Causes of Carryover |
出張経費が少なくすんだため。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
代数トポロジーや導来圏など、本研究と関連が深そうなテーマに関する基礎文献の購入により、充実した研究活動をサポートする。
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Research Products
(4 results)
