2016 Fiscal Year Research-status Report
| Project/Area Number |
16K13743
|
|---|
| Research Institution | The University of Tokyo |
|---|
Principal Investigator |
植田 一石 東京大学, 大学院数理科学研究科, 准教授 (60432465)
|
|---|
| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
毛利 出 静岡大学, 理学部, 教授 (50436903)
大川 新之介 大阪大学, 理学研究科, 准教授 (60646909)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2019-03-31
|
| Keywords | 導来圏 / 代数多様体のGrothendieck環 |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
京都大学大学院理学研究科の伊藤敦氏、大阪大学大学院理学研究科の大川新之介氏および韓国高等科学院の三浦真人氏と共同で、代数多様体のGrothendieck環の構造に関する研究を行った。G_2型のGrassmann多様体はちょうど2個あるが、これらの上の適当な階数2の同変ベクトル束の大域切断の零点として、3次元Calabi-Yau多様体XとYが定義される。これらのCalabi-Yau多様体はそれぞれPfaff多様体の中のCalabi-Yau多様体X'とGrassmann多様体の中のCalabi-Yau多様体Y'に変形することが知られており、さらにX'とY'は代数多様体のGrothendieck環の中である関係式を満たすことがBorisovやMartinによって証明されていたが、我々はXとYが代数多様体のGrothendieck環の中で関係式([X]-[Y])L=0を満たすことを発見した。ここで、Lは代数多様体のGrothendieck環におけるアファイン直線のクラスである。さらに、X'とY'が導来同値であることがBorisov-CaldararuやKuznetsovによって知られていたが、我々はXとYが導来同値であると予想するとともに、滑らかな射影多様体VとWが導来同値である時に、[V]-[W]がLの冪で消えるかという問題を提出した。同じ問題は同時期に独立にKuznetsovとShinderによっても提出されており、この分野における重要な問題であると考えられる。X'とY'の導来同値性は程なくしてKuznetsovによって証明され、それを踏まえて、筆者は8次元のフロップを用いる新たな証明を与えた。さらに、伊藤氏、大川氏、三浦氏と共同で、非常に一般の次数12のK3曲面に対しては上の問題に対する答えが肯定的であることを証明した。
|
| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
導来圏の研究は非可換代数幾何において重要であるが、当該年度の研究によって、導来圏と代数多様体のGrothendieck環の関係を調べることが興味深い問題であることを明らかにすることが出来た。
|
| Strategy for Future Research Activity |
代数多様体のGrothendieck環に加えて、Bondal-Larsen-Luntsによって導入された前三角微分次数圏のGrothendieck環についても研究を行い、非可換幾何学への応用を目指す。
|
| Causes of Carryover |
次年度に国際研究集会を行うため。
|
| Expenditure Plan for Carryover Budget |
招聘旅費に使用する。
|
