2017 Fiscal Year Research-status Report
超平面配置の自由性・トポロジーとランダムウォークの新潮流
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16K13744
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
阿部 拓郎 九州大学, マス・フォア・インダストリ研究所, 准教授 (50435971)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
白井 朋之 九州大学, マス・フォア・インダストリ研究所, 教授 (70302932)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 超平面配置 / 剰余旗 / 剰余定理 / 加除定理 / ポアンカレ多項式 / 多数加法・除去・制限定理 / 旗代数 / 乱歩 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度は、前年度と同様に自由配置のトポロジーと旗および制限との関係に関して大きな進展を得ることができた。以下二つに分けて詳述する。
まず一つ目の研究成果は、自由配置の除去定理の組み合わせ論依存性の証明である。本研究の根幹は、剰余的自由配置の判定法であり、それは定義から剰余旗の存在と同値であった。しかし剰余旗の有無は、組み合わせ論的であるとはいえど判定はなかなか難しく、本研究計画遂行におけるボトルネックとなっていた。これに対し私は、剰余旗を持つための第一歩といえる、自由配置からある超平面を、自由性を保持したままで除去できるか否かという、いわゆる寺尾の除去定理の成立条件が、完全に組み合わせ論、それもすべての局所化におけるポアンカレ多項式の剰余という完全に数値的組み合わせ論の言葉で記述できることを証明した。一般に超平面配置の研究において、ある性質が組み合わせ論にのみ依存するかどうかというのはもっとも重要な問題であり、ほとんどの場合未解決か、否定的に解かれることが普通である。それに対してこの結果は、自由配置の除去定理という極めて複雑な超平面配置の代数構造が組み合わせ論、それも数値的な組み合わせ論にのみ依存することを証明した画期的な結果である。これにより、剰余旗の存在のチェックがかなり容易になり、研究計画のボトルネックが取り除かれることが期待される。
二つ目の研究成果は、寺尾宏明氏との共同研究である。この研究では、多数加法・除去・制限定理の存在を証明した。加法・除去・制限定理はすべて寺尾氏が1980年に証明した定理で、それぞれ超平面配置に一枚の超平面を加える、一枚の超平面を除く、一枚の超平面に制限する、という操作をした場合の自由性の挙動を記述していた。本結果はそれを任意の枚数に増やし、ある組み合わせ条件下において同様の挙動の記述に成功した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
本研究計画では、剰余的自由配置のトポロジーを剰余旗を通じて旗代数のコンテキストで理解したうえで、それを乱歩と関連付けて解析することを目標としている。しかし旗代数における剰余旗の理解が想像以上に困難であることが判明したうえに、剰余旗の存在の確認が難しかったため、最初のボトルネックの解決に想定より時間を費やすこととなった。研究自体は進展しているが、乱歩との関連に深く踏み込めていないため、進捗状況はやや遅れていると判断した。
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| Strategy for Future Research Activity |
平成30年度は本課題の最終年度のため、若干の遅れを取り戻すことに全力を尽くす。まず、剰余旗の存在の判定は、平成29年度の二つの研究成果でかなり容易になった。よってまずそれを用いた剰余旗の存在判定アルゴリズムを作成し、研究を一気に推進する。特にすべての剰余旗ではなく、多数除去定理及び制限定理が適用可能な、若干容易な構造を持つ剰余的自由配置にのみ着目するという方針も視野に入れる。
続いて旗代数との関係は、引き続き模索し続けるものの、オリジナルな旗代数は剰余旗とあまり相性が良くないことが本研究で見えてきた。そこで(1)自ら旗代数の類似物を作る、あるいは(2)旗代数を経由しないで、直接上の方法で判定した剰余的自由配置上の乱歩を解析する、という二つの方針で研究を進めたい。最もシンプルな設定としては、多数制限配置で枚数の情報のみから判定されるシンプルな構造を持つ剰余的自由配置、たとえはShi配置などの上の乱歩に注力することで、自由配置と乱歩との関係を考察することを試みたい。
更に、剰余旗の存在の判定法をより深く研究する。平成28年度にすでにアイデアが出ていた、局所重旗の理論は、Lukas Kuhene氏との共同研究として着実に進んでいる。29年度中にはまとめきれなかったが、30年度には確実にまとめ上げる。この、重旗配置上の乱歩の解析も、簡単に判定できる剰余的自由配置上の乱歩のモデルケースとして、確立させる。
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| Causes of Carryover |
本年度も研究計画は主に自由配置のトポロジー的解析の範囲で行われた。よって想定していたよりも乱歩関係の研究打ち合わせを行うことが少なかったため、旅費の使用額が予定を下回った。次年度は乱歩関係の研究計画に本格的に進む予定のため、次年度使用額を用いてこれらを積極的に行いたい。
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