2016 Fiscal Year Research-status Report
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16K13747
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| Research Institution | Kobe University |
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Principal Investigator |
谷口 隆 神戸大学, 理学研究科, 准教授 (60422391)
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2016-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 指数和 / 概均質ベクトル空間 / 概素数 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
指数和の明示公式については、今年度はまず、比較的扱いやすいと考えられる概均質ベクトル空間にターゲットを絞り、指数和の計算を試みた。結果としては、５種類の概均質ベクトル空間について、指数和の明示公式を得た。順に（一般次元の）双線形形式のなす空間 / ｎ次交代形式のなす空間 / ４次交代形式の２個組の空間 / ４次交代形式の３個組の空間 / ５次交代形式の２個組の空間、である。また、４次交代形式の４個組の空間 / ２×３×４三重線形形式の空間についても部分的な進展を得た。これらの計算を遂行した上での実感として、現在の手法で指数和を計算する際にもっとも重要な部分が、各軌道の元の個数を決定するところにあるようだという感触があった。特異軌道の指示関数のフーリエ変換は、研究代表者がこれまでに得ていた成果と同様、いずれも square root cancellation よりもL^1 ノルムが小さくなることが分かった。これらの多くは石塚裕大氏（京都大）との共同研究である。
指数和の応用として、これまでの研究代表者の研究で、概素数判別式をもつ代数体の個数の下からの評価が得られることが分かっていた。これについて、RichertとGreaves の重みつき篩を用いることで結果を大きく改良できることが分かった。これにより、３次体の場合と４次体の場合に大幅な進展を得た。特異軌道の代数幾何学的な階層化についてもより統一的に扱う指針を得た。これは Frank Thorne 氏（University of South Carolina）との共同研究である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
指数和の明示公式について具体的な成果があったため。また、応用に関しても、加重篩が極めて有効であることを見出せたため。
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| Strategy for Future Research Activity |
「古典型」と呼ばれる概均質ベクトル空間のうち、前年度に扱わなかった３種類の概均質ベクトル空間について、指数和を決定する。また、４次交代形式の４個組の空間 / ２×３×４三重線形形式の空間についても指数和を決定する。これらと並行して、ここまでで得られた明示公式をもとに、超局所解析を中心とする、概均質ベクトル空間の精緻な先行研究との関連を追及する。
指数和は整数論の様々な局面で活躍する。篩法や、ゼータ関数の関数等式を含む、さまざまな方面への応用を考える。
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| Causes of Carryover |
海外から研究者を招聘する予定だったが、先方の都合により、今年度に招聘した方が滞在が長期となり、効果的に共同研究が行えることとなったため。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
国内外の研究者招聘に用いる。
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