2016 Fiscal Year Research-status Report
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16K13749
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| Research Institution | Hiroshima University |
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Principal Investigator |
島田 伊知朗 広島大学, 理学研究科, 教授 (10235616)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
木村 俊一 広島大学, 理学研究科, 教授 (10284150)
奥田 隆幸 広島大学, 理学研究科, 助教 (40725131)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | Leech 格子 / 符号 / Conway 群 / extremal 格子 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
Leech 格子の holes に関する Borcherds-Conway-Queen の計算結果を，計算機を用いて単純なアルゴリズムにより再確認し，いくつかの shallow holes とGolay codes (binary およびternary) の関係を発見した．これは，K3曲面の偏極の次数の effective な有界性に関する研究の副産物として得られたものである．
Leech 格子の自己同型群の部分群である dot 222と，有限体上の代数群から定義される群 PSU(6, 4) の間には同型が存在する事がすでに Conway により知られている．この同型を， Edge による古典的なアイデアと，標数 2 の Fermat cubic 4-fold 上の代数的サイクルの交点理論をもとに，明示的に書き下し，Conway の同型が，Mathiue 群 M_{21} と PSL(3, 4) の間のよく知られた同型と密接な関係にあることを突き止めた．
有限体 F_2 上の quadratic residue code の概念を一般化した．この code を，rank の低い正定値格子の discriminant form の直和上で考え, このcodeを glue dataとして用いることにより，高い充填密度をもつ格子が構成できる．このアイデアに基づき，計算機による網羅的な探索の結果，rank が 64 の extremal な格子を構成することができた．さらに，その他の階数においても，興味深いいくつかの格子を発見し，また rank が 48 のすでに知られている4種の extremal 格子のうち，2種を構成した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
格子および符号に関する各種のアルゴリズムをフリーの計算ソフトウェア GAP 上で書いた．これは，本研究を申請する時点では想定していなかったことであるが， Alex Degtyarev 教授からの強いアドバイスにより移行に踏み切ったものである，さらに複数の CPU で分散計算をおこなう技法をいくつか開発し，具体的な問題に応用した．たとえば，上記のrank が 64 の extremal 格子の構成は，8個の CPU を用いた分散計算により 2ヶ月以上の計算の結果得られたものである．これにより， C言語を用いたアルゴリズムの開発と計算に比べ，coding に要する時間と計算の実行時間が大幅に縮減されることが期待される．正標数のエルミート 多様体上の組み合せ論的データを保存するためのフォーマットを確定し，いくつかのプログラムを書いたので，今年度は大規模な実験に乗り出せると期待している．
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| Strategy for Future Research Activity |
正標数のエルミート多様体上の組み合せ論的データを取り揃え，これらの多様体の自己同型群とConway 群の部分群との間のいくつかの同型を手がかりに，興味深い組み合せ論的構造を抽出する．とくに，標数 3 の 4次 Fermat 曲面として得られる Artin 不変量が 1 の超特異 K3 曲面から階数 22 の正定値格子を構成し，自己同型を保ったまま Leech 格子に埋め込む方法を考える.
さらにこれらのエルミート多様体の完全交叉として得られる有限体上の多様体の代数的サイクルおよび有理点に関する研究を行う．
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| Causes of Carryover |
予定していた海外出張が，スケジュールの都合により行くことができなかった．
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
今年度出張する．
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