2017 Fiscal Year Research-status Report
有限対称空間および関連するグラフスペクトル論の視点による整数論の研究
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16K13750
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| Research Institution | Ehime University |
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Principal Investigator |
平野 幹 愛媛大学, 理工学研究科(理学系), 教授 (80314946)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
山崎 義徳 愛媛大学, 理工学研究科(理学系), 准教授 (00533035)
原本 博史 愛媛大学, 教育学部, 講師 (40511324)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 代数学 / 整数論 / グラフスペクトル論 / 有限対称空間 / 有限特殊関数 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
今年度は、代数的に定義された有限正則グラフに対する明示的スペクトル論による整数論の考察に対するさらなる考察の一例として、主に巡回群および二面体群に関連したケイリーグラフに対するスペクトルについて明示的かつ詳細な考察を実施した。特に、（１）これまで実施してきたラマヌジャン性判定境界問題を動機としたスペクトルの継続研究を行った。（２）スペクトルが整数である場合について、グラフスペクトルに関連するラマヌジャン和などの指標和を有限特殊関数として捉えて考察した。また関連する話題として、実代数群の調和解析の整数論の視点から一般球関数に対する既知の成果のまとめること、ガウス和およびヤコビ和などの有限特殊関数の明示的評価と整数論との関連性について考察すること、などについても昨年度から継続して研究を実施した。
素数の多項式による表現に対するハーディ・リトルウッド予想と巡回的ケイリーグラフに対するバレンシーによるラマヌジャン性判定境界問題についての我々の先行研究、および有限対称空間上の調和解析の整数論を発展させる目的の達成のためには、実例計算とその詳細な考察が不可欠であろう。今年度は最も明示的に考察できる巡回群および二面体群の場合に再び焦点を当て、グラフスペクトルの指標和としての知見を深め、今後につながる表現論や組み合わせ論、有限特殊関数の性質に基づいた整数論研究の基盤を得ることができた。
まとまった成果を得るまでには残念ながら至らなかったが、整数スペクトルを持つ巡回群および二面体群上のラマヌジャングラフに対する新しい計算結果を得ているので、これらの結果の整数論・組み合わせ論的意味づけと計算機を用いた計算実験について今後は継続して考察したいと考えている。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
新しい条件のもとでの明示的スペクトル論による研究が進展したものの、これまでの先行結果をさらに深めるという意味での研究成果は想定通りには得られていない。今後は計算機の更なる利用など研究の進展を目指すべきであろう。
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| Strategy for Future Research Activity |
今後も代数的に定義された有限正則グラフに対する明示的スペクトル論による整数論の考察について、ラマヌジャン性および有限対称空間上の調和解析の二つの観点から研究を進め、問題の本質を見極めたいと思っている。
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| Causes of Carryover |
今年度も昨年度と同様に予備的な研究に労力を割いたため、成果発表に係る活動が想定を下回った。
今年度はこれまで得てきた部分的成果をまとめ、専門家との意見交換および成果発表等を昨年度以上に実施する計画である。
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