2016 Fiscal Year Research-status Report
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16K13753
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| Research Institution | Shinshu University |
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Principal Investigator |
栗林 勝彦 信州大学, 学術研究院理学系, 教授 (40249751)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 階層体 / Serre-Swanの定理 / 構造層 / Gelfand 位相 / ベクトル束 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
M. Kreckにより導入された階層体 (Stratifold) は可微分多様体の一般化である。例えば次元の異なる多様体の適切な貼付けにより構成され，単位の分割をもつ等，多様体と似た性質を持っている。またホモロジーの幾何学的サイクルを階層体により表示することも可能になる。こうした例の構成とその特性の解明は進んでいるものの，階層帯体の圏論的な視点を持っての研究は皆無である。そこで，多様体や他の一般化された概念や，80 年代初頭 Souriau により導入された微分空間 (Diffeology) と比較した場合，階層体の圏論的な位置づけを行い，相違点を明確化することは重要である。本研究では，(I) 階層体のつくる圏のR-代数の圏へのうめ込み定理の考察と，(II) 微分空間のつくる圏との比較，(III) 階層体と適切なR-代数上のアフィン・スキームの引き戻しとの関連性の解明，さらに (IV) 多様体上のベクトル束とある有限型射影的対象の等価性を保証する Serre-Swan の定理の階層体への一般化を目標に掲げ研究を遂行する。この４点に関する研究を平成２８年度に着実に実行した。(IV)についてはて微分空間の概念を用いて，階層体上の適切なベクトル束の概念を導入する事ができ，Serre-Swan の定理の階層体版が完成した。これらの結果は学術論文として発行される予定である。上述の４つの研究目標に加え，Joyceによる導来微分幾何学の枠組みで多様体と同様に階層体の研究を進めることを試みる。さらに微分可能または位相的スタックの概念を用いての研究手法を検討し，階層体研究の枠組みを広げると共にそれら自身を深く研究するため基礎的な研究を進めている。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
研究協力者の青木稔樹氏(信州大学)と共に研究(I), (II), (III), (IV)を一気の押し進め幾つかの結果を得た。(I)に関しては，階層体(S, C)の構造層の大域切断すなわち，SからRへの階層体の意味で滑らかな写像全体が作るR-代数(C自身)を対応させることで，この埋め込みが得られることを示した。階層体構造Cの実スペクトラムがCのGelfand位相による幾何学的実現とさらにS自身と同相であることが証明の鍵となる。さらに階層体構造Cの環つき空間の一般論を整備することで，(III)の研究が進んだ。すなわち，R-代数C上のアフィン・スキームの実スキームへの引き戻しで階層体とその構造層が記述できることになる。また， 研究(IV)で掲げた，Serre-Swanの定理に関してはMoryeの一般論が適用できることがわかり，階層体上のベクトルバンドルの概念を導入し結果として, Swan-Serreの定理の階層体版が完成した。(II)に関しては，微分空間の圏の中で，階層体から来る射の特徴づけを階層体持つ局所レトラクションの言葉で記述した。以上の結果は論文としてまとめられ出版予定である。研究上必要な情報収集，特に研究協力者を広く各分野から得るために「(非)可換代数とトポロジー」を連携研究者と研究協力者と共に開催した。(III), (IV)の研究の深化のために必要な情報，道具を得ることができた。
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| Strategy for Future Research Activity |
階層体は多様体をうまく貼り合わせて構成される，一般的には特異点を持つ幾何学的対象である。階層体Sの構造層を用いて上述の論文では，大域切断のプライム・スペクトラムの言葉でSの位相的性質を完全に特徴付けることに成功した。そこでさらに，階層体を亜群上のファイバー圏の一般理論に埋め込むために，微分可能(位相的)スタックの階層体への一般化へと研究を進める。階層体におけるSardの定理を鍵としてこの考察を行う予定である。微分可能または位相的スタックの枠組みで具体的に階層体を扱い場合その上のバンドル理論の整備も必要になるであろう。また，(II)の研究をホモトピー論的にさせるために，微分空間におけるde Rham 理論を階層体に適用することも検討している。
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| Causes of Carryover |
研究集会講演講師の招聘旅費および運営予算として計上していたが計画より安価で遂行できた。本研究遂行のため，29年度に計画する研究集会開催費として予算を繰り越した。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
自身の国内外出張旅費および本研究に関連して企画開催する信州トポロジーセミナー，勉強会，研究集会の講師旅費等に使用する。「信州数理科学研究センター」の事業との連携による勉強会，セミナーの講師旅費，学生アルバイト代も計上する予定である。また11月に福井市で開催する「第44回 変換群論シンポジウム」の講師旅費としての使用を計画に入れている。
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Research Products
(2 results)
