2017 Fiscal Year Research-status Report
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16K13753
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| Research Institution | Shinshu University |
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Principal Investigator |
栗林 勝彦 信州大学, 学術研究院理学系, 教授 (40249751)
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| Project Period (FY) |
2016-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 階層体 / Serre--Swanの定理 / ディフェオロジー |
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| Outline of Annual Research Achievements |
M. Kreckにより導入された階層体 (Stratifold) は可微分多様体の一般化であり，特異点を持つ多様体，特異ホモロジーの幾何学的サイクルを記述する概念としても注目される。その階層帯を圏論的な視点を持って研究することが本研究の目的であり，研究概要で述べた具体的研究(I)から(IV)は前年度の研究で大きく前進した。研究(II)のディフェオロジカル空間のつくる圏との比較に関しては，階層体の射をディフェオロジーの言葉で特徴付けることに成功している。すなわち階層体の圏からディフェオロジカル空間の圏への適切な関手の像をある意味，特徴付けたことになる。このようにディフェオロジー研究が階層体研究に欠かせない部分であることが明らかになりつつある。これを受けて今年度は，階層体を例として意識しつつ，ディフェオロジー研究を進める計画を立て実行してきた。(前報告まではDiffeological spaceを「微分空間」として紹介していたが，多様体を一般化して現れる他の概念と明確に分けるために今後は，ディフェオロジカル空間と呼ぶことにする。) 特に，多様体の圏とディフェオロジカル空間の圏の「間」に階層体の圏が現れるため，各々の圏で適用される，不変量や関手を階層体に適用することを試みている。階層体におけるde Rham 理論の構築に取りかかった。ところが，ディフェオロジカル空間にD-位相を入れて位相空間として取り扱う場合，一般にはde Rhamの定理が成立しない。これはホモトピー論をこうした多様体の一般化の上で展開するためには障害になり得る。そこで，Iglesias-Zemmourのディフェオロジカル空間のde Rham 複体から立方体的コホモロジーへの積分写像に対応する概念の再構築に取りかかり，階層体におけるde Rham の定理の定式化をすすめた。現在，新しい微分形式として相応しい候補を探している。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
ディフェオロジーのde Rhamの定理に関する同様の考察は，岩瀬－泉(arXiv:1511.06948v2)により行なわれている。特にCW複体に同伴するディフェオロジカル空間のde Rhamの定理は完成している。われわれの興味は階層体を位相空間の圏に忘却関手で持って行く前のディフェオロジーの圏での考察なので，岩瀬－泉田の結果から直接従うものではない。そこで，有理ホモトピー論に現れるSullivan-de Rham複体に注目し，この構成すなわち，適切な単体的微分代数を用いてディフェオロジカル空間の新しい微分形式を定義した。そのde Rham 複体 Ω の構成過程で現れる，アフィン空間または標準的単体にどのようなディフェオロジーの構造を入れるのかが問題となる。本研究では，ユークリッド空間の部分ディフェオロジーを持つアフィン空間を採用することにした。実際このタイプの単体的集合はChristensen-Wuによるディフェオロジカル空間の圏におけるモデル圏構造の考察において用いられているため，de Rham 複体経由のホモトピー論を展開する上で，相性が良いものと考えられるからである。
2017年度ホモトピー論シンポジウム では，On the category of stratifolds -- The Serre-Swan theorem --として講演し，2018年日本数学会年会トポロジー分科会では「階層体の圏とSerre-Swanの定理」として，今までの研究結果を報告した。特にホモトピー論シンポジウムでは，ディフェオロジー空間における，de Rham理論を階層体上で展開するためには，de Rhamの定理と共にその枠組みの構築が必要であることを強調した。
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| Strategy for Future Research Activity |
最終年度にむけて，ディフェオロジカル空間および階層体における，de Rhamの定理の定式化とその証明を目標に掲げ，研究を推進させる計画である。まず，ディフェオロジーの圏で de Rhamの定理を定式化するために, 標準的単体にアフィン空間から部分ディフェオロジーを入れ，「特異」チェイン単体をつくり，上述のde Rham 複体 Ω からの積分写像を構成する。これが一般のディフェオロジカル空間ではコホモロジー上で同型を導くことを，非輪状モデルの方法や単体的微分代数から得られる擬同型を生む判定法等を駆使することで示す予定である。これがまさしくディフェオロジーにおける，de Rhamの定理となる。一方，Iglesias-Zemmourのde Rham 複体に関して言えば，既にバンドル上の接続や多様体の微分形式の一般化として様々な結果が生まれている。したがって既に定義されているそのde Rham複体と新しいde Rham 複体 Ω の関係を明らかにすることが重要になる。階層体に関してはこの２つが同型になることが予想される。この予想の解決に向けての考察も必要になる。
今年度は，イズミル(トルコ)で開催のディフェオロジー勉強会に参加し，参加者との議論を深め，また上述の手法の正当性を確認することで研究を遂行する計画である。
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| Causes of Carryover |
当初計画で見込んだよりも安価に研究が進んだため，次年度使用額が生じた。３０年度は，本研究に関連する国際研究集会の開催を計画した。次年度使用額は，平成３０年度請求額と合わせて，国際研究研究集会の開催費用として使用する。
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Research Products
(2 results)
